2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите параметризировать диоф. уравнение x^2+y^2+z^2=t^n
Сообщение21.01.2010, 01:26 
Параметризацию диофантового уравнения $x^2+y^2=z^n$ можно осуществить с помощью комплексных чисел.
Например при $n=3$:
$(p-iq)^3=(p^3-3pq^2)-i(3p^2q-q^3)$,
$(p+iq)^3=(p^3-3pq^2)+i(3p^2q-q^3)$,
$(p-iq)(p+iq)=p^2+q^2$,
$((p^3-3pq^2)-i(3p^2q-q^3))((p^3-3pq^2)+i(3p^2q-q^3))=$
$=(p^3-3pq^2)^2+(3p^2q-q^3)^2$,
$(p^3-3pq^2)^2+(3p^2q-q^3)^2=(p^2+q^2)^3$.
Как параметризировать диофантово уравнение $x^2+y^2+z^2=t^n$, где $n>2$?

 
 
 
 Re: Помогите параметризировать диоф. уравнение x^2+y^2+z^2=t^n
Сообщение23.01.2010, 02:39 
Аватара пользователя
Вместо "параметризации диофантова уравнения" правильнее будет сказать "найти частное параметрическое решение" - тогда не будет разночтений.

По аналогии с параметрическим решением для двух квадратов можно построить параметрическое решение для 8 квадратов, если вместо комплексных чисел использовать кватернионы.

Для $x^2+y^2+z^2=t^n$ параметрические решения можно попробовать искать методом неопределённых коэффициентов (для каждого фиксированного $n$).

 
 
 
 Re: Помогите параметризировать диоф. уравнение x^2+y^2+z^2=t^n
Сообщение29.01.2010, 03:15 
Аватара пользователя
Для нахождения параметрического решения для $n=3$ можно воспользоваться известным фактом, что форма $x^2 + y^2 - t^3$ представляет все целые числа. См. решение задачи 10426 в AMM.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group