Вместо "параметризации диофантова уравнения" правильнее будет сказать "найти частное параметрическое решение" - тогда не будет разночтений.
По аналогии с параметрическим решением для двух квадратов можно построить параметрическое решение для 8 квадратов, если вместо комплексных чисел использовать кватернионы.
Для

параметрические решения можно попробовать искать методом неопределённых коэффициентов (для каждого фиксированного

).