Метод параметризации широкого класса диофантовых уравнений

[maxal]

Slava в сообщении #276626 писал(а):

Существуют ли еще общие методы (кроме этого и его возможных обобщений) для параметризации диофантовых уравнений?

Есть такой интересный прием: для фиксированного выбора знаков уравнения

$$\pm x_1^{n_1} \pm x^{n_2} \pm \dots \pm x_k^{n_k} = 0$$

и

$$\pm x_1^{n'_1} \pm x^{n_2} \pm \dots \pm x_k^{n_k} = 0,$$

где $n'_1 = \mathop{\text{НОД}}(n_1,\mathop{\text{НОК}}(n_2,n_3,\dots,n_k))$, разрешимы или неразрешимы одновременно. Причём из решений одного уравнения конструктивным образом получаются решения другого. Понятно, что тоже самое можно применить к любому $n_i$ из набора показателей.

Вот здесь я привел конкретный пример решения, получающегося этим методом.

В связи с описанным приёмом можно определить "редуцированную" форму подобного уравнения, как уравнение, где каждое $n_i$ делит НОК всех остальных показателей. Например, редуцированной формой уравнения $x^3+y^4=z^6$ является $x^3+y^2=z^6.$

(пример из fido7.ru.math)

[maxal]

Slava в сообщении #276626 писал(а):

Всегда ли решаема система этих сравнений?

maxal в сообщении #278453 писал(а):

И, кстати, правильнее было бы рассматривать систему по модулям $n_1$, $n_2$ и т.д. - у нее будет больше шансов на существование решения.

И, тем не менее, количество наборов $n_1\leq n_2 \leq \dots \leq n_m$, для которых получающаяся система имеет решение стремительно уменьшается с ростом $m$. Если для $m=2$ в пределах $2\leq n_1\leq n_2\leq 8$, решений нет только у $(n_1,n_2)= (3,3)$, $(4,4)$, $(4,8)$ и $(8,8)$, то для $m$ и $n_i$ вплоть до 8 решения есть только у следующих наборов $m, [n_1,n_2,\dots,n_m]$:

3 [2, 5, 5]
3 [2, 5, 6]
3 [2, 5, 7]
3 [2, 5, 8]
3 [2, 7, 7]
3 [2, 7, 8]
3 [3, 4, 5]
3 [3, 4, 7]
3 [3, 5, 5]
3 [3, 5, 7]
3 [3, 5, 8]
3 [3, 7, 7]
3 [3, 7, 8]
3 [4, 5, 5]
3 [4, 5, 6]
3 [4, 5, 7]
3 [4, 5, 8]
3 [4, 7, 7]
3 [4, 7, 8]
3 [5, 5, 6]
3 [5, 5, 7]
3 [5, 5, 8]
3 [5, 7, 7]
3 [5, 7, 8]
3 [6, 7, 7]
3 [6, 7, 8]
3 [7, 7, 8]
4 [2, 3, 3, 4]
4 [2, 3, 3, 5]
4 [2, 3, 3, 7]
4 [2, 3, 3, 8]
4 [2, 3, 5, 5]
4 [2, 3, 5, 6]
4 [2, 3, 5, 7]
4 [2, 3, 5, 8]
4 [2, 3, 7, 7]
4 [2, 3, 7, 8]
4 [2, 5, 5, 6]
4 [2, 5, 5, 7]
4 [2, 5, 5, 8]
4 [2, 5, 7, 7]
4 [2, 5, 7, 8]
4 [2, 7, 7, 8]
4 [3, 3, 4, 5]
4 [3, 3, 4, 7]
4 [3, 3, 5, 5]
4 [3, 3, 5, 6]
4 [3, 3, 5, 7]
4 [3, 3, 5, 8]
4 [3, 3, 7, 7]
4 [3, 3, 7, 8]
4 [3, 4, 5, 5]
4 [3, 4, 5, 7]
4 [3, 4, 6, 7]
4 [3, 4, 7, 7]
4 [3, 5, 5, 6]
4 [3, 5, 5, 7]
4 [3, 5, 5, 8]
4 [3, 5, 6, 7]
4 [3, 5, 7, 7]
4 [3, 5, 7, 8]
4 [3, 6, 7, 7]
4 [3, 7, 7, 8]
4 [4, 5, 5, 6]
4 [4, 5, 5, 7]
4 [4, 5, 5, 8]
4 [4, 5, 7, 7]
4 [4, 5, 7, 8]
4 [4, 7, 7, 8]
4 [5, 5, 6, 7]
4 [5, 5, 7, 7]
4 [5, 5, 7, 8]
4 [5, 6, 6, 7]
4 [5, 6, 7, 7]
4 [5, 7, 7, 8]
4 [6, 7, 7, 8]
5 [2, 3, 3, 5, 7]
5 [2, 3, 3, 5, 8]
5 [2, 3, 3, 7, 7]
5 [2, 3, 3, 7, 8]
5 [2, 3, 7, 7, 8]
5 [2, 5, 7, 7, 8]
5 [3, 3, 4, 5, 7]
5 [3, 3, 4, 7, 7]
5 [3, 3, 7, 7, 8]
5 [3, 5, 6, 7, 7]
5 [3, 5, 7, 7, 8]
5 [4, 5, 7, 7, 8]
6 [2, 5, 5, 7, 7, 8]
6 [3, 4, 5, 5, 7, 7]
6 [3, 5, 5, 7, 7, 8]
7 [2, 3, 3, 5, 5, 7, 8]
8 [2, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 8]

[maxal]

Для проверки своей программы нашел такое "редуцированное" и "зубодробильное", но тем не менее решабельное, уравнение:

$$x^8 + y_1^9 + y_2^{14} + y_3^{18} + y_4^{21} = z^8.$$

Вот его частное параметрическое решение:

$$\begin{cases} x = 2^{31} 7^{121} p^{126} - 2^{31} 7^{56} q^{126}\\ y_1 = 2^{28} 7^{57} p^{14} q^{98}\\ y_2 = 2^{18} 7^{46} p^{27} q^{45}\\ y_3 = 2^{14} 7^{43} p^{35} q^{21} \\ y_4 = 2^{12} 7^{43} p^{42}q^6\\ z = 2^{31} 7^{121} p^{126} + 2^{31} 7^{56} q^{126} \end{cases}$$

[Slava]

А как быть с этим:

Цитата:

Понятно, то есть все четыре числа $x,y_1,y_2,z\div 2^3$. Это не параметризация. Это обычные школьные преобразования. Параметризация относится лишь к попарно взаимно простым числам.

У Вас тоже $x$, $y_1$, $y_2$, $y_3$, $y_4$, $z$ делятся на $2^{12}7^{43}$.

[maxal]

Slava в сообщении #281946 писал(а):

А как быть с этим:

Никак не быть. Надо просто называть всё своими именами. Никто не утверждал, что приведёнными формулами описываются все решения (у меня, например, написано "частное параметрическое решение"). А то, что параметризация должна обязательно описывать лишь взимно-простые числа, - чушь.

[maxal]

В книжке Серпинского на эту тему есть такая теорема (почему-то в главе "§ 15. Решение уравнений в рациональных числах" на стр. 85):

Теорема. Уравнение

$$a_1 x_1^{n_1} + a_2 x_2^{n_2} + \dots + a_k x_k^{n_k} = 0,$$

где
$k\geq 2$ - натуральное число,
$a_1, a_2, \dots, a_k$ - целые числа, $a_1\ne 0$, $a_2+a_3+\dots+a_k\ne 0$,
$n_1, n_2, \dots, n_k$ - такие натуральные числа, что числа $n_1$ и $n_2n_3\cdots n_k$ взаимно простые,
имеет бесконечное множество решений в целых числах $x_1, x_2, \dots, x_k$, а в случае, когда $a_1>0$, $a_2+a_3+\dots+a_k<0$, имеет бесконечное множество решений в натуральных числах.

Теорема легко следует из описанного выше более общего утверждения. А именно, здесь $n'_1 = \mathop{\text{НОД}}(n_1,\mathop{\text{НОК}}(n_2,n_3,\dots,n_k))=1$ сводит уравнение к тривиальному с бесконечным множеством решений.