2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение15.11.2008, 15:48 
shwedka писал(а):
у нас в библиотеке есть толстая книга Серпинского 'элементарная теория чисел, фрагментом которой является цитированная брошюрка.

Нет желания ее отсканироваь? :) Ее, кажется еще нигде в Сети нет.

 
 
 
 
Сообщение15.11.2008, 16:00 
Аватара пользователя
shwedka в сообщении #158383 писал(а):
Если не забуду, посмотрю в понедельник на работе, у нас в библиотеке есть толстая книга Серпинского 'элементарная теория чисел, фрагментом которой является цитированная брошюрка.

В сети легко найти английский перевод Sierpinski W. "Elementary theory of numbers" (Warszawa, 1964), но в нем гипотеза Эйлера упомянута вскользь и ссылки на результат Ward'а нет вообще.

 
 
 
 
Сообщение15.11.2008, 16:01 
Аватара пользователя
На такие подвиги я не способна.

 
 
 
 
Сообщение15.11.2008, 16:04 
Аватара пользователя
Вот первая попавшаяся ссылка на "Elementary theory of numbers":
http://www.dleex.com/details/?4681

 
 
 
 
Сообщение15.11.2008, 16:11 
Я имел ввиду польское издание (на польском языке). Мне почему-то показалось, что shwedka говорила о нем. Глюк, однако :( .
shwedka, когда будете в понедельник в библиотеке, посмотрите, пожалуста, реквизиты издания книги Серпинского, которую Вы предполагаете смотреть.

 
 
 
 
Сообщение15.11.2008, 20:32 
Аватара пользователя
А есть ли у кого-нибудь Opera omnia Эйлера с арифметическими исследованиями на английском?

 
 
 
 
Сообщение15.11.2008, 21:30 
Аватара пользователя
juna писал(а):
А есть ли у кого-нибудь Opera omnia Эйлера с арифметическими исследованиями на английском?

Так в местой же библиотеке есть: http://lib.mexmat.ru/series/9

 
 
 
 
Сообщение15.11.2008, 21:35 
Аватара пользователя
В местной на немецком, а я его уже совсем не помню :cry:

 
 
 
 Re: Метод параметризации широкого класса диофантовых уравнений
Сообщение08.01.2010, 16:08 
Аватара пользователя
Гипотеза (усиление гипотезы Эйлера):
всякую натуральную степень $n$ можно разложить в виде суммы $\left[\dfrac n2+1\right]$ $n$-степеней других натуральных чисел - если $n$-четно. И $\left[\dfrac{n+1}{2}+1\right]$ - если $n$ нечетно.
И нельзя в виде меньшей суммы.

Во всяком случае, расширение гипотезы Биля с помощью предложенного метода для них работает безукоризненно! Практически все уравнения:
$x^n+a_1^m+a_2^k+...+a_{\frac n2}^v=p^n$ - разрешимы при $m,k,v,...\geq n$
Отсюда и предположение, что
$x^n+a_1^n+a_2^n+...+a_{\frac n2}^n=p^n$ - также разрешимы.

И еще одно предположение:
Если $m<n$, то уравнение
$x^m+a_1^k+a_2^u+...+a_{\frac n2}^v=p^r$ - разрешимо, где $k,u,v,r$ - любые.

 
 
 
 Re: Гипотеза Эйлера
Сообщение08.01.2010, 16:26 
Аватара пользователя
age в сообщении #278535 писал(а):
Гипотеза (усиление гипотезы Эйлера):
всякую натуральную степень $n$ можно разложить в виде суммы $\left[\dfrac n2+1\right]$ $n$-степеней других натуральных чисел - если $n$-четно. И $\left[\dfrac{n+1}{2}+1\right]$ - если $n$ нечетно.

Ваша гипотеза, скорее всего, неверна уже для $n=6$.
По крайней мере, из abc-гипотезы следует, что для бесконечности числа решений количество $n$-х степеней в уравнении должно быть как минимум $n$. А у вас для $n=6$ количество степеней равно лишь 5.

 
 
 
 Re: Гипотеза Эйлера
Сообщение08.01.2010, 16:37 
Аватара пользователя
maxal
Понимаю, что это звучит высокопарно, но мне кажется, что моя гипотеза верна. А что говорит $abc$-гипотеза, скажем, об уравнениях
$x^6+y^7+z^7+p^6=q^6$
$x^6+y^6+z^7+p^8=q^6$?

 
 
 
 Re: Гипотеза Эйлера
Сообщение08.01.2010, 16:47 
Аватара пользователя
age в сообщении #278544 писал(а):
А что говорит $abc$-гипотеза, скажем, об уравнениях
$x^6+y^7+z^7+p^6=q^6$
$x^6+y^6+z^7+p^8=q^6$?

Тут нужно аккуратно проверять взаимную (не)простоту показателей.
Навскидку первое может иметь лишь конечное число решений.

Для второго решения строятся - вот параметрическая серия частных решений:
$$\begin{cases}
x = a\cdot (d^6-a^6-b^6-c^8)^8\\
y = b\cdot (d^6-a^6-b^6-c^8)^8\\
z = (d^6-a^6-b^6-c^8)^7\\
p = c\cdot (d^6-a^6-b^6-c^8)^6\\
q = d\cdot (d^6-a^6-b^6-c^8)^8\end{cases}$$

 
 
 
 Re: Гипотеза Эйлера
Сообщение08.01.2010, 18:55 
Аватара пользователя
maxal
Но тогда и для
$x^6+y^6+z^7+p^6=q^6$
аналогично строится решение:
$\begin{cases}
x = a\cdot (d^6-a^6-b^6-c^6)^8\\
y = b\cdot (d^6-a^6-b^6-c^6)^8\\
z = (d^6-a^6-b^6-c^6)^7\\
p = c\cdot (d^6-a^6-b^6-c^6)^8\\
q = d\cdot (d^6-a^6-b^6-c^6)^8\end{cases}$

А согласитесь!
$x^6+y^6+z^7+p^6=q^6$ очень близко к
$x^6+y^6+z^6+p^6=q^6$!

Хотя, в данном случае числа $x,y,z,p,q$ - не взаимно простые. А это противоречит гипотезе Биля (имеется в виду ее расширению на число слагаемых, большее двух).

Интересно бы найти решение, чтобы хотя бы два числа из $x,y,z,p,q$ были взаимно простыми.

 
 
 
 Re: Гипотеза Эйлера
Сообщение08.01.2010, 19:16 
Аватара пользователя
age в сообщении #278573 писал(а):
А согласитесь!
$x^6+y^6+z^7+p^6=q^6$ очень близко к
$x^6+y^6+z^6+p^6=q^6$!

Не соглашусь. Наличие 7-ки в первом уравнении (которая взаимно-проста со всеми остальными показателями) существенно меняет дело. Случай, когда все показатели равны между собой, в некотором смысле самый сложный.

-- Fri Jan 08, 2010 11:19:41 --

Кстати, для 6-й степени неизвестно даже, имеет ли нетривиальное целочисленное решение уравнение:
$$x_1^6 + x_2^6 + x_3^6 + x_4^6 + x_5^6 = y^6.$$
А вы пытаетесь сократить число неизвестных.

 
 
 
 Re:
Сообщение08.01.2010, 19:53 
sceptic в сообщении #158388 писал(а):
shwedka писал(а):
у нас в библиотеке есть толстая книга Серпинского 'элементарная теория чисел, фрагментом которой является цитированная брошюрка.

Нет желания ее отсканироваь? :) Ее, кажется еще нигде в Сети нет.


Есть в сети Elementary theory of numbers, Wacław Sierpiński, Warszawa 1964
http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?to ... =10&jez=pl
Находится как Tom 42 в "Kolekcja Matematyczna. Monografie Matematyczne"
http://matwbn.icm.edu.pl/ksspis.php?wyd=10&jez=pl

В этой коллекции много интересных книг

 
 
 [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group