Множества измеримые по Лебегу образуют сигма-кольцо

[G_Ray]

Множества измеримые по Лебегу образуют сигма-кольцо.

Где найти доказательство данного факта, и вообще, подскажите литературу хорошую по данной теме.

[gris]

Шилов, Гуревич "Интеграл, мера и производная"

[G_Ray]

Хм, не нашел я там доказательство.

[gris]

Может быть.
А Вы не пробовали просто продолжить обычную меру лебега с алгебры борелевских множеств на $\sigma$ -алгебру, которая и будет алгеброй измеримых по Лебегу множеств. Можно, например, присвоить нулевую меру любым борелевским подмножествам с нулевой мерой Лебега. По моему, теорема Каратеодори млжет помочь.
Впрочем, у меня недостаточно чёткие представления.

[AD]

Колмогоров, Фомин - Элементы теории функций и функционального анализа - неужели тут нету? Ну тогда Дьяченко, Ульянов - Мера и интеграл, там такие вещи вроде разжеваны.

[merlin]

Антоневич,Радыно.
Функциональный анализ и интегральые уравнения.

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #281061 писал(а):

А Вы не пробовали просто продолжить обычную меру лебега с алгебры борелевских множеств на -алгебру, которая и будет алгеброй измеримых по Лебегу множеств. Можно, например, присвоить нулевую меру любым борелевским подмножествам с нулевой мерой Лебега. По моему, теорема Каратеодори может помочь.

А в чём здесь действительно трудность? Есть $\sigma$-кольцо борелевских множеств, добавляем к ним все подмножества борелевских множеств меры $0$, порождаем новое $\sigma$-кольцо, мера вроде продолжается без проблем. Где здесь сложности? Или я чего-то не понимаю?

[ewert]

А при чём тут борелевские множества? Мера Лебега к ним вообще никакого отношения не имеет, она оказывается на них определена уже апостериори, т.е. в некотором смысле случайно, и именно из-за уже имеющейся своей сигма-алгебровости.

В Колмогорове-Фомине это доказательство действительно есть (глава 5, параграф 1, теоремы 4 и 7). Правда, тут есть один нюанс. Обычно измеримость по Лебегу определяют как равенство внешней и внутренней мер. После чего доказывается критерий Валле-Пуссена: измеримость равносильна тому, что симметрическая разность между множеством и некоторым конечным набором прямоугольников может быть сделана сколь угодно малой по внешней мере. Так вот, Колмогоров с Фоминым решили облегчить себе жизнь и просто приняли последнее утверждение за определение измеримости по Лебегу. После чего замкнутость измеримости относительно дополнений и счётных объединений становится почти очевидной.

[G_Ray]

Да я уже доказал кое-как это.

Цитата:

Колмогоров с Фоминым решили облегчить себе жизнь и просто приняли последнее утверждение за определение измеримости по Лебегу

Нам кстати преподаватель именно так и сформулировал определение множества измеримого по Лебегу.
Точнее так: множество называется измеримым по Лебегу, если его с любой точностью можно приблизить счетным объединением брусов.
вообще с этим Лебегом такая путаница в голове:)

[AD]

G_Ray в сообщении #285481 писал(а):

вообще с этим Лебегом такая путаница в голове:)

Да ладно, там на самом деле очень наглядно всё, просто вначале пугает немножко