2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Множества измеримые по Лебегу образуют сигма-кольцо
Сообщение16.01.2010, 15:46 
Множества измеримые по Лебегу образуют сигма-кольцо.

Где найти доказательство данного факта, и вообще, подскажите литературу хорошую по данной теме.

 
 
 
 Re: Теория меры.
Сообщение16.01.2010, 16:47 
Аватара пользователя
Шилов, Гуревич "Интеграл, мера и производная"

 
 
 
 Re: Теория меры.
Сообщение16.01.2010, 17:18 
Хм, не нашел я там доказательство.

 
 
 
 Re: Теория меры.
Сообщение16.01.2010, 17:37 
Аватара пользователя
Может быть.
А Вы не пробовали просто продолжить обычную меру лебега с алгебры борелевских множеств на $\sigma$ -алгебру, которая и будет алгеброй измеримых по Лебегу множеств. Можно, например, присвоить нулевую меру любым борелевским подмножествам с нулевой мерой Лебега. По моему, теорема Каратеодори млжет помочь.
Впрочем, у меня недостаточно чёткие представления.

 
 
 
 Re: Теория меры.
Сообщение16.01.2010, 18:54 
Колмогоров, Фомин - Элементы теории функций и функционального анализа - неужели тут нету? Ну тогда Дьяченко, Ульянов - Мера и интеграл, там такие вещи вроде разжеваны.

 
 
 
 Re: Теория меры.
Сообщение02.02.2010, 21:34 
Антоневич,Радыно.
Функциональный анализ и интегральые уравнения.

 
 
 
 Re: Теория меры.
Сообщение02.02.2010, 23:37 
Аватара пользователя
gris в сообщении #281061 писал(а):
А Вы не пробовали просто продолжить обычную меру лебега с алгебры борелевских множеств на -алгебру, которая и будет алгеброй измеримых по Лебегу множеств. Можно, например, присвоить нулевую меру любым борелевским подмножествам с нулевой мерой Лебега. По моему, теорема Каратеодори может помочь.

А в чём здесь действительно трудность? Есть $\sigma$-кольцо борелевских множеств, добавляем к ним все подмножества борелевских множеств меры $0$, порождаем новое $\sigma$-кольцо, мера вроде продолжается без проблем. Где здесь сложности? Или я чего-то не понимаю?

 
 
 
 Re: Теория меры.
Сообщение03.02.2010, 08:46 
А при чём тут борелевские множества? Мера Лебега к ним вообще никакого отношения не имеет, она оказывается на них определена уже апостериори, т.е. в некотором смысле случайно, и именно из-за уже имеющейся своей сигма-алгебровости.

В Колмогорове-Фомине это доказательство действительно есть (глава 5, параграф 1, теоремы 4 и 7). Правда, тут есть один нюанс. Обычно измеримость по Лебегу определяют как равенство внешней и внутренней мер. После чего доказывается критерий Валле-Пуссена: измеримость равносильна тому, что симметрическая разность между множеством и некоторым конечным набором прямоугольников может быть сделана сколь угодно малой по внешней мере. Так вот, Колмогоров с Фоминым решили облегчить себе жизнь и просто приняли последнее утверждение за определение измеримости по Лебегу. После чего замкнутость измеримости относительно дополнений и счётных объединений становится почти очевидной.

 
 
 
 Re: Теория меры.
Сообщение03.02.2010, 20:28 
Да я уже доказал кое-как это.
Цитата:
Колмогоров с Фоминым решили облегчить себе жизнь и просто приняли последнее утверждение за определение измеримости по Лебегу

Нам кстати преподаватель именно так и сформулировал определение множества измеримого по Лебегу.
Точнее так: множество называется измеримым по Лебегу, если его с любой точностью можно приблизить счетным объединением брусов.
вообще с этим Лебегом такая путаница в голове:)

 
 
 
 Re: Теория меры.
Сообщение03.02.2010, 21:37 
G_Ray в сообщении #285481 писал(а):
вообще с этим Лебегом такая путаница в голове:)
Да ладно, там на самом деле очень наглядно всё, просто вначале пугает немножко :wink:

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group