Мерсенн и Ферма загадочным образом связаны !?

[Anatolii]

Как известно Мерсенн и Ферма являлись друзьями! Удивительно,то, что и числа названные в их честь
также загадочным образом связаны (дружат) друг с другом!

Возьмём простое число Мерсенна $2^{127}-1$ и число $2^{703}$, если мы от второго числа отнимем первое, то разность
этих чисел будет нацело делится на $2^{64}+1$, второе составное число Ферма!

Если взять число $2^{799}$ и $2^{127}-1$, то их разность нацело делится на $2^{32}+1$, первое
составное число Ферма!

Найти число $2^n$, такое. чтобы разность его с числом Мерсенна нацело делилось на третье составное число Ферма?

[maxal]

Зафиксируйте любое число Мерсенна $2^p-1$ и решите сравнение:

$$2^n \equiv 2^p - 1 \pmod{2^{128}+1}$$

относительно $n$.
Факторизация модуля $2^{128}+1$ не составляет труда, и решение (если существует) легко отыскивается для любого простого $p>2$.

-- Sun Jan 10, 2010 17:37:29 --

В частности, решение $n\equiv 0\pmod{256}$ существует для всех простых вида $p=256k+1$.
Если хочется натуральные решения - то вот, для примера, такое: $p=257$ и $n=256$.

[Anatolii]

Вы несколько видоизменили задачу, в частности у Вас (p > n), к тому же $2^{257}-1$ составное число Мерсенна. Поэтому нужно представить решение в целых числах, при условии, что (n>p) и $2^p-1$ является простым числом Мерсенна.

[maxal]

Anatolii в сообщении #279521 писал(а):

Вы несколько видоизменили задачу, в частности у Вас (p > n), к тому же $2^{257}-1$ составное число Мерсенна. Поэтому нужно представить решение в целых числах, при условии, что (n>p) и $2^p-1$ является простым числом Мерсенна.

Я ничего не видоизменял - в исходном вопросе у вас не было никаких таких ограничений. Требование простоты числа Мерсенна $2^p - 1$ (их всего-то на данный момент известно лишь 47 штук) сильно ограничивает множество решений.

Частным решением указанного сравнения является

$$\begin{cases}p\equiv 1\pmod{256};\\n\equiv 0\pmod{256}.\end{cases}$$

Такое $p$, дающая простое число Мерсенна, известно только одно - это $p=32582657$. Число $n$ можно взять, например, наименьшим кратным $256$, большим $p$ - это $n=32582912$.

Дополнение:

Общее решение дается вышеуказанной системой и еще одной:

$$\begin{cases}p\equiv -1\pmod{256};\\n\equiv 127\pmod{256}.\end{cases}$$

[Anatolii]

Можно найти и меньшее решение при n=1407 и p=1279.
На самом деле Вы используете для решения простые числа вида $a2^n+1$, а я $b2^n-1$.

[maxal]

Anatolii в сообщении #279923 писал(а):

Можно найти и меньшее решение при n=1407 и p=1279.

Да, это я упустил из виду решение $p\equiv -1\pmod{256}.$ Собственно, $p=1279$ и $p=32582657$ - это единственные известные простые дающие решение этой задачи.

Anatolii в сообщении #279923 писал(а):

На самом деле Вы используете для решения простые числа вида $a2^n+1$, а я $b2^n-1$.

Странное утверждение. Мы оба используем и те, и другие с $a=b=1$. Числа $2^{2^k}+1$ - это числа Ферма (вида $2^n+1$), а $2^p-1$ - Мерсенна.

[Anatolii]

Решить задачу от "Ферма и Мерсенна"


Найти два целых и положительных числа!

$$ \left(2^x-3^n)$$

которое делится на

$$ \left(3\cdot2^n+1)$$

где (x;n.)-целые и положительные числа.
И если возможно то найдите и число

$$ \left(2^y+3^{n+1})$$

которое также делится на

$$ \left(3\cdot2^n+1)$$

где y-целое и положительное число.

[maxal]

Anatolii в сообщении #500298 писал(а):

Решить задачу от "Ферма и Мерсенна"


Найти два целых и положительных числа!

$$ \left(2^x-3^n)$$

которое делится на

$$ \left(3\cdot2^n+1)$$

где (x;n.)-целые и положительные числа.
И если возможно то найдите и число

$$ \left(2^y+3^{n+1})$$

которое также делится на

$$ \left(3\cdot2^n+1)$$

где y-целое и положительное число.

Какая-то безидейная задача. Вот для примера тройки $[n,x,y]$ с минимальными $x,y$ для всех $n\leq 20$:

[2, 8, 6]
[3, 1, 18]
[4, 5, 1]
[5, 47, 42]
[6, 60, 54]
[8, 320, 312]
[9, 101, 92]
[10, 119, 109]
[11, 493, 482]
[12, 6000, 5988]
[14, 200, 186]
[15, 9605, 9590]
[16, 13787, 13771]
[17, 89076, 89059]
[18, 392892, 392874]
[20, 261323, 261303]

[Anatolii]

Я не стал уточнять, почему эта задача от Ферма и Мерсенна! Но почему-то никто и не спрашивает об этом?
Чтобы придать идейный смысл, введём новое условие!

$$ \left(x+n^2+1)$$

- должно равнятся числу Ферма.
Таких решений среди предложенных нет.
На самом деле имеет место быть - общая теорема обьединющая все составные числа Ферма и Мерсенна.

[Anatolii]

Прошу прощения, но правильно будет

$$ \left(x+n^2)$$

- должно равнятся $2^m$
Для чисел Мерсенна

$$ \left(2^x-3^n)$$

и

$$ \left(2^y-3^{n+1})$$

и

$$ \left(3\cdot2^n-1)$$

возможны и другие варианты, зависящие от кол-ва делителей
и их вида 4n+1 или 4n-1.

$$ \left(2^{191}-1)$$

x = 142 n = 7 y = 135, тогда
142+$7^2$ = 191

[Sonic86]

Ничего не понял. Можете нормально сформулировать в рамках одного поста без ошибок, желательно в читабельном виде?

Anatolii в сообщении #501261 писал(а):

Для чисел Мерсенна

$$ \left(2^x-3^n)$$

и

$$ \left(2^y-3^{n+1})$$

и

$$ \left(3\cdot2^n-1)$$

Вы считаете, что чисел Мерсенна такого вида много? Их очень мало. Если Вы что-то для них утверждаете, то насколько утверждение будет существенно?
Какие могут быть другие варианты? Я общего правила для указанных трех частных случаев не вижу.
Наконец, где утверждение? В последнем посте его нет