Сменил название с
Диагональный метод Кантора для доказательства несчётности на
Для всех тех, у кого несчётность R вызывает сомнения: во избежание множения сущностей. Моё сомнение разрешилось, но с бесконечными множествами очень легко перемудрить. Так что пусть младые умы высказывают найденные ими "противоречия" здесь.
Интерлюдия.На первом курсе матанализа неравномощность множеств
и
нам обосновывали с помощью диагонального метода Кантора. Я убедился, что эта практика является общеупотребимой для ВУЗов моего города. Ни в коей мере не утверждаю, что
, ибо интуитивно уверен в обратном, однако, хочу твёрдое тому доказательство. Диагональный метод вызывает серьёзные сомнения с моей стороны. Если я не прав, прошу указать на допущенную мной ошибку в рассуждениях. Если прав, то мне очень бы хотелось взгянуть на корректное доказательство (
желательно, но не обязательно, не апеллирующее к чему-либо, что не может быть уяснено первокурсником)
.
...
Вопрос.И, (если мой тезис верен,) как всё таки доказать несчётность множества на
[0..1)?
Вот еще пример на мою любимую тему
Могут ли люди мыслить?Да ничего здесь доказывать не надо! Поясню на примере анекдота (знак ' обозначает ударение).
Вопрос. Как правильно писать:
портф'ель, или
п'ортфель?
Ответ. Можно и так и так. Но при этом надо знать, что в
портф'ель кладут документы, а в
п'ортфель л'ожат док'ументы.
Здесь все также. Можно считать, что
все множества счетны. Но при этом надо понимать, что
для любого бесконечного множества класс всех его подмножеств не является множеством (иначе, как и ежу ясно, диагональный метод приводит к противоречию). Вместо этого будет справедлива
Теорема. Пусть
- произвольное бесконечное множество. Для любого множества подмножеств множества
существует большее по включению множество подмножеств множества
.
Вот так вот. Как часто мы надуваем щеки, а дело то оказывается не в математике, а в нашей упертости. Ведь надо четко отделять одно от другого, а именно, вопросы традиций (конвециональные вопросы) от действительно математических утверждений. Сим сообщением я не призываю отказываться от существования несчетных множеств, а просто обращаю внимание на то, что это
конвенциональный вопрос.
Вопрос на засыпку. А что конкретно потеряет традиционная математика (или хотя бы традиционный матанализ), если принять аксиому счетности всех бесконечных множеств.