Для всех тех, у кого несчётность R вызывает сомнения

[Maslov]

Ну да, примерно столько. Натуральных же $2^{63}$. Т.о., множество действительных чисел конечно, но при этом несчётно.

[ewert]

Но всё-таки натуральных -- меньше, чем вещественных!

Кстати, а почему $2^{63}$, а не $2^{64}$? Ведь целое число считать знаковым или беззнаковым -- это лишь вопрос интерпретации.

[Maslov]

ewert в сообщении #272986 писал(а):

Но всё-таки натуральных -- меньше, чем вещественных!

Ну да, поэтому $\mathbb{R}$ несчётно.

ewert в сообщении #272986 писал(а):

Кстати, а почему $2^{63}$, а не $2^{64}$? Ведь целое число считать знаковым или беззнаковым -- это лишь вопрос интерпретации.

Если считать, что $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$, то $2^{63}$, иначе -- $2^{64}$.

[Профессор Снэйп]

Натуральных и целых - одинаковое количество А действительных больше

Ещё бы рациональных было бы столько же, сколько натуральных. Какой-нибудь тип рациональных чисел процессоры поддерживают, интересно?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #273016 писал(а):

Какой-нибудь тип рациональных чисел процессоры поддерживают, интересно?

Процессоры -- нет.

[Ales]

Я вот не нашелся как правильно проголосовать. Считаю правильным ответ: доказательство - не конструктивное.
Хотя диагональный метод и красив, но чтобы считать его истинным или ложным, надо придерживаться определенной идеологии и быть сторонником определенной школы. Некоторые школы могут считать теорию множеств и понятие бесконечности бессмысленными.
Общепринято считать, что $\mathbb{R} \neq \mathbb{N}$ и что, например, в $\mathbb{N}$ больше тысячи чисел. Но можно основать школу, для которой максимальное число будет то, которым люди могут оперировать, не прибегая, допустим, к записям, то есть не больше 100. Некоторые дикари вообще отличают только 1, 2 и много. Если человек считает, что больше 100 чисел не бывает, то он не обязательно дурак, но обязательно то, что он думает по другому, не так, как Вы.

[infoliokrat]

ewert в сообщении #271134 писал(а):

infoliokrat в сообщении #271118 писал(а):

натуральное в степени натуральное- тоже стчётно.

"натуральные в натуральных степенях" -- безусловно натуральны; просто потому, что они натуральны -- и всё тут. Тут и доказывать нечего, а ежели кто доказывает -- то это лишь ловля блох.

И совсем другое дело -- "натуральный ряд" (сиречь множество натуральных чисел) в своей собственной степени. В теоретико-множественном смысле. Это -- уже совсем другой вопрос.

-- Вс дек 13, 2009 21:50:59 --

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #270857 писал(а):

infoliokrat в сообщении #270831 писал(а):

З павагай

Что это значит? И первое слово какое: цифра "3" или буква "З"?

Он ранее уж расшифровывал. Это -- по-украински. В вольном переводе означает "с почтением".

Так зацепило, что будучи в деревне (д. Псыщево, на 70-летии сестры) думал об этом.
Как было верно сказано (отдельно мухи и котлеты_) м.б. разделятся, если разделить
тезисы
1) два в степени натуральное несчётно.
2) два в степени натуральное (НЕ) равно (не соответствует 1:1) бесконечным последовательностям нулей и единиц.
3)Любой набор (последовательность) нулей и единиц - это НЕ запись целого числа в двоичной системе счисления.
4)бесконечный набор бесконечных последовательностей из нулей и единиц (исходное понятие этого диагонального метода) включает в себя НЕзначащие нули.

Тогда, по п.4) могу предположить, что никакого демона (ни Цермело ни любого иного, пока условно назовем его инфолиократного) не хватит, не только чтобы сосчитать такой набор (мыслящийся почти бессмыссленным), а даже чтобы сгенирировать на самом мощном компе хотябы часть его.

Ну последнее: допустим, что натуральных чисел "больше" чем в нынешнем натуральном ряду, или что их "больше" чем номеров, включая кардиналы, то что, тогда всё можно считать (полагать) счётным?
Например, все-все числа, от нуля до единицы? З павагай

[infoliokrat]

Тут есть тема, в которой спрашивают о кардиналах и ординалах. В Сети (жаль, что в теме философия)
ссылка удалена
прочитал и (ещё раз) убедился, что фактически просто определили, (для меня - условились) считать 2 в степени натуральное несчётным.
Однажды я писал, что континуум придумали люди, весь мир - дискретный Мир.
Там есть, безусловно, к чему придраться, например в тексте речь идёт о числах КАГОТА
"Его архитектура существенно отличается от архитектуры ряда W и заключается в том, что ряд Ω может быть разбит на пять классов:

-начальный класс, он же – счетное множество N=0,1,2,...,N-1 всех конечных чисел. Его кардинал N называется конечным числом Кагота. Кагот – герой повествования чукотского писателя Юрия Рытхэу [15] (Кагот искал числа, которые уже не конечные, но еще и не бесконечные, и считал, что тот, кто найдет их, будет счастлив и все узнает). "
а в списке литературы сказано, что
[15] Рытхэу Ю. Числа Какота. - Избранное. Л., 1982, Т.2.
Символично, что на бел. языке есть слова "каго...", т.е. КОГО-ТО. З павагай

Строгое предупреждение за рекламу сторонних сайтов и использование красного цвета!

[infoliokrat]

Профессор Снэйп в сообщении #273016 писал(а):

Натуральных и целых - одинаковое количество А действительных больше

Ещё бы рациональных было бы столько же, сколько натуральных. Какой-нибудь тип рациональных чисел процессоры поддерживают, интересно?

После работы инж-конструктором (Брест, БэмЗ) и безработицы, оказался в 1992 г. в СШ, как информатик. Попросил троечника 9-классника (сына моего однокласника) подсчитать количество зёрнышек за изобретение шахмат. Так он подсчитал их с точностью до 1 зёрнышка на КУВТ Корвет (ОЗУ 48 кбайт). На Бейсике, в миллионноричной системе, записывая ответ как текст. Т.е. что можно выжать с современных ПЭВМ не знают и разработчики. Вопрос в том, что условились считать нынешние несчётные множества несчётными (для успокоения души). А дальше - проще. Доказывается, что все множества, мощность которых превышает несчётное считать несчётными. (Иначе будет, пусть Бог простит, утверждение: Может ли Бог создать такой камень, который не сможет поднять?
Как по мне, то "Ещё бы рациональных было бы столько же, сколько натуральных. и даже с учетом иррациональных, как утверждают специалисты, в т.н. 1математике всё равно меньше (не мощность таких множеств меньше, а количество элементов в них) и не столько, а (как говорят - строго) меньше, чем неонатуральных.
Пока по прежнему в 1математике заманчиво считать счётным множеством любое бесконечное натуральное в любой степени. При этом не только с точки зрения интуиционистов или конструктивистов выглядит более привлекательным то, что данное высказывание правдоподобно не только в единичной (унарной), но и в алефоричной системе счисления.
Чем "грозит" такая гипотетическая математика- пока не знаю, но предполагаю что числа количества и числа номера - мощности в ней одного порядка. А подмножества из множества нынешней математики выглядят мистическим. З павагай

[vek88]

Cosinus в сообщении #162183 писал(а):

Сменил название с Диагональный метод Кантора для доказательства несчётности на Для всех тех, у кого несчётность R вызывает сомнения: во избежание множения сущностей. Моё сомнение разрешилось, но с бесконечными множествами очень легко перемудрить. Так что пусть младые умы высказывают найденные ими "противоречия" здесь.

Интерлюдия.
На первом курсе матанализа неравномощность множеств {Q} и {R} нам обосновывали с помощью диагонального метода Кантора. Я убедился, что эта практика является общеупотребимой для ВУЗов моего города. Ни в коей мере не утверждаю, что |{Q}| = |{R}|, ибо интуитивно уверен в обратном, однако, хочу твёрдое тому доказательство. Диагональный метод вызывает серьёзные сомнения с моей стороны. Если я не прав, прошу указать на допущенную мной ошибку в рассуждениях. Если прав, то мне очень бы хотелось взгянуть на корректное доказательство (желательно, но не обязательно, не апеллирующее к чему-либо, что не может быть уяснено первокурсником) |{Q}| \neq |{R}|.
...
Вопрос.
И, (если мой тезис верен,) как всё таки доказать несчётность множества на [0..1)?

Вот еще пример на мою любимую тему Могут ли люди мыслить?

Да ничего здесь доказывать не надо! Поясню на примере анекдота (знак ' обозначает ударение).

Вопрос. Как правильно писать: портф'ель, или п'ортфель?

Ответ. Можно и так и так. Но при этом надо знать, что в портф'ель кладут документы, а в п'ортфель л'ожат док'ументы.

Здесь все также. Можно считать, что все множества счетны. Но при этом надо понимать, что для любого бесконечного множества класс всех его подмножеств не является множеством (иначе, как и ежу ясно, диагональный метод приводит к противоречию). Вместо этого будет справедлива

Теорема.
Пусть $A$ - произвольное бесконечное множество. Для любого множества подмножеств множества $A$ существует большее по включению множество подмножеств множества $A$.

Вот так вот. Как часто мы надуваем щеки, а дело то оказывается не в математике, а в нашей упертости. Ведь надо четко отделять одно от другого, а именно, вопросы традиций (конвециональные вопросы) от действительно математических утверждений. Сим сообщением я не призываю отказываться от существования несчетных множеств, а просто обращаю внимание на то, что это конвенциональный вопрос.

Вопрос на засыпку. А что конкретно потеряет традиционная математика (или хотя бы традиционный матанализ), если принять аксиому счетности всех бесконечных множеств.

[ewert]

vek88 в сообщении #279168 писал(а):

Вопрос на засыпку. А что конкретно потеряет традиционная математика (или хотя бы традиционный матанализ), если принять аксиому счетности всех бесконечных множеств.

Ответ спросонья. Ничего не потеряет, приобретёт же очень многое: приобретёт противоречивость.

[vek88]

ewert в сообщении #279172 писал(а):

Ответ спросонья. Ничего не потеряет, приобретёт же очень многое: приобретёт противоречивость.

Разумеется, вопрос был тоже задан спросонья. Но ведь здесь на форуме все такие умненькие. Могут, в конце концов, и переформулировать мой вопрос более формальным образом.

Или сразу ответить, что мы потеряем, например, Дедекиндово сечение, и ах, ах. Как же без него жить?

Разумеется, многие традиционные формулировки потеряют смысл в "счетной математике", но они могут быть переформулированы без потери содержательного смысла.

Думаю, если серьезно, получится вполне нормальная математика. См., например, конструктивные действительные числа.

[Ales]

Мне кажется, что интереснее и полезнее изучать и решать реальные задачи.
Аксиомы и множества должны занимать в математике место где-то на обочине, среди курьезов типа квадратуры круга. Главное место должно быть отдано методам решения задач и алгоритмам.

[vek88]

Ales в сообщении #279306 писал(а):

Мне кажется, что интереснее и полезнее изучать и решать реальные задачи.

Именно этим, в основном, и занимается на 99% математика. Хотя понятие "реальная задача" - очень условное и очень широкое. В узком смысле, реальная задача - это, например, решение конкретных инженерных задач. Но надо помнить, что многие инженерные задачи родились в "абстрактных недрах математики" (теория кодирования, практическая электродинамика, теплофизика и т.д.)

Ales в сообщении #279306 писал(а):

Аксиомы и множества должны занимать в математике место где-то на обочине, среди курьезов типа квадратуры круга. Главное место должно быть отдано методам решения задач и алгоритмам.

Ну, батенька, про обочину и курьезы ... - это уж Вы слишком непочтительно к множествам.

Кстати, именно на "обочине" возникла теорема о существовании алгоритмически неразрешимых проблем. А без этой теоремы сколько бы крыш снесло у бедных программистов, пытающихся решить такие проблемы.

Ну и, наконец, надо помнить, люди бывают разные, черные, белые, красные. И всем одинаково хочется на что-нибудь заморочиться.

Только каждому хочется заморочиться на своем: кого-то интересует решение сугубо практических задач (например, как на бирже сделать прибыль с помощью "торгового" супералгоритма), а кого-то, хлебом не корми, кроме оснований математики ничего не интересует.

[AlexDem]

vek88 в сообщении #279328 писал(а):

Кстати, именно на "обочине" возникла теорема о существовании алгоритмически неразрешимых проблем. А без этой теоремы сколько бы крыш снесло у бедных программистов, пытающихся решить такие проблемы.

Где Вы видели программиста за машиной Тьюринга? А все конечные (и ограниченные) задачи мы решим