Ошибка в "Конкретной Математике"?

[caxap]

В "Конкретной Математике" (Грэхем, Кнут, Паташник) в $\S 2.6$ написано следущее:

$$\int u\, \operatorname{D} v=uv-\int v\, \operatorname{D} u\ ,$$

где $\operatorname{D}u:=u'$ --- т. е. производная. Но это же не верная формула (я так думаю)! Ведь должно быть

$$\int u\, d v=uv-\int v\, d u\ .$$

В первом варианте если раскрыть, то получается вообще бред (я так думаю):

$$\int u\,\frac {dv}{dx}=uv-\int v\, \frac {du}{dx}\ ,$$

Подскажите пожалуйста, это я ошибаюсь или они?

[JollyRoger]

Ошибка у них, там дифференциал должен быть.

[caxap]

Странно увидеть опечатку в книге, авторы которой обещают $2.56$\ \$ любому, нашедшему ошибку в ней. Кстати, в оригинале я смотрел -- там то же самое!

[ewert]

Эти ребята просто настолько увлеклись своими аналогиями, что на формальности им уже плявать. Их легкомысленно восхищает формальное сходство между операциями дифференцирования и взятия конечных разностей -- настолько восхищает, что они попросту не замечают: аналогом разностного оператора является дифференциал, а вовсе не производная. Вообще, по крайней мере в этом параграфе обозначения у них -- крайне безобразны, до неприличия. То они вводят дельту икс, то выводят -- безо всяких пояснений. Указывать же пределы суммирования -- и вовсе считают дурным тоном.

[meduza]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #278237 писал(а):

Вообще, по крайней мере в этом параграфе обозначения у них -- крайне безобразны, до неприличия. То они вводят дельту икс, то выводят -- безо всяких пояснений.

Они там поясняют, что имеют ввиду аналогию $\operatorname{D}\leftrightarrow \Delta,\ d\leftrightarrow \delta$, хотя обозначения и впрямь ужасны, намного логичней $d\leftrightarrow \Delta,\ \operatorname{D}=\dfrac d {dx} \leftrightarrow \dfrac {\Delta} {\Delta x}$. Вообще авторы (точнее один из них) довольно помешанны на обозначениях, часто доходит до нелепых крайностей. Конкретная математика -- для вечернего расслабляющего чтения, не более того. (Хотя некоторые вопросы рассмотрены очень хорошо и задачки хорошие).

[JollyRoger]

(Оффтоп)

meduza в сообщении #278242 писал(а):

Вообще авторы (точнее один из них) довольно помешанны на обозначениях, часто доходит до нелепых крайностей.

Кто?

[maxal]

caxap в сообщении #278225 писал(а):

В "Конкретной Математике" (Грэхем, Кнут, Паташник) в $\S 2.6$ написано следущее:

$$\int u\, \operatorname{D} v=uv-\int v\, \operatorname{D} u\ ,$$

Здесь всего лишь пропущен $dx$ - должно быть:

$$\int u\, \operatorname{D} v\,dx=uv-\int v\, \operatorname{D} u\,dx.$$

-- Sat Jan 09, 2010 03:29:06 --

caxap в сообщении #278229 писал(а):

Странно увидеть опечатку в книге, авторы которой обещают $2.56$\ \$ любому, нашедшему ошибку в ней. Кстати, в оригинале я смотрел -- там то же самое!

Ну так и получите свои заслуженные $\$2.56$.

[ewert]

maxal в сообщении #278777 писал(а):

Здесь всего лишь пропущен $dx$ - должно быть:

$$\int u\, \operatorname{D} v\,dx=uv-\int v\, \operatorname{D} u\,dx.$$

Нет, не должно быть -- это сразу же разрушило бы всю ихнюю красоту. Вот у них там пассаж:

Цитата:

приводит к правилу интегрирования по частям,

$$\int u\, Dv = uv - \int v\, Du,$$

после интегрирования и перестановки членов; то же самое можно
проделать и в исчислении конечных разностей.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Взяв неопределенную сумму от обеих частей этого равенства и переставив члены, мы получаем обещанное правило суммирования по частям:

$\sum u\,\Delta v = uv-\sum v\,\Delta u. \qquad\qquad\qquad(2.56)$

Вставьте в первую формулу $dx$, как положено -- и что бы осталось от всей этой красотищи?...

Между тем красота -- это страшная сила, и ради неё авторы со страшной силой готовы буквально на всё. Даже на такое:

Цитата:

справедлива такая ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА:

$g(x) = \Delta f(x)$
тогда и только тогда, когда $\sum g(x)\,\delta x = f (x) + C . \qquad\qquad(2.46)$

Здесь $\sum g(x)\,\delta x$ — неопределенная сумма $g(x)$ —является классом функций, разность которых есть $g(x)$. (Заметим, что строчная $\delta$ соотносится с прописной $\Delta$ так же, как $d$ соотносится с $D$.)

(Заметим, что строчная дельта здесь вообще никак и ни с чем не соотносится, ибо никак ни до сих пор, ни далее не определена и вообще не имеет в приведённом контексте ни малейшего смысла. Но на какие жертвы не пойдёшь ради красоты!)

Это никакие не ошибки и даже не опечатки. Это -- элементарное разгильдяйство.

[faruk]

Сравните:

http://ru.wikipedia.org/wiki/Интегрирование по частям

http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle Integration

http://en.wikipedia.org/wiki/Integration by parts

http://fr.wikipedia.org/wiki/Intégration par parties

[ewert]

Забавно, но на этот раз отличились немцы (у остальных всё нормально):

Цитата:

Daraus folgt für die partielle Integration:

$\displaystyle\int u'\cdot v = \int (u\cdot v)' - \int u\cdot v'$

$\displaystyle\int u'\cdot v = u\cdot v - \int u\cdot v'$

Правда, отличились они, видимо, просто по рассеянности -- в остальном тексте дифференциальчики они честно вставляют. А вот то, что они ненавидят произвольные постоянные (опять же, в отличие от всех остальных) -- это, наверное, уже из прынцыпу...

[maxal]

Чем гадать на кофейной гуще, я послал вопрос об обсуждаемой формуле Рону Грехэму (с кем имею честь быть лично знакомым). Надеюсь, у него найдется минутка объяснить, какой же все-таки она должна была быть. О результатах отпишусь.

[meduza]

ewert в сообщении #278786 писал(а):

Вставьте в первую формулу $dx$, как положено -- и что бы осталось от всей этой красотищи?...

Если бы авторы изначально сделали аналогию "разностный оператор -- дифференциал", и не привлекали бы сюда производную, то сохранилась бы и строгость и красота.

[maxal]

ewert в сообщении #278786 писал(а):

maxal в сообщении #278777 писал(а):

Здесь всего лишь пропущен $dx$ - должно быть:

$$\int u\, \operatorname{D} v\,dx=uv-\int v\, \operatorname{D} u\,dx.$$

Нет, не должно быть -- это сразу же разрушило бы всю ихнюю красоту.
...

Цитата:

$\sum u\,\Delta v = uv-\sum v\,\Delta u. \qquad\qquad\qquad(2.56)$

Вставьте в первую формулу $dx$, как положено -- и что бы осталось от всей этой красотищи?...

Ничего бы это не нарушило. Просто в формуле суммирования по частям также имеется пропуск - она должна выглядеть так:

$$\sum u\,\Delta v \delta x = uv-\sum v\,\Delta u \delta x$$

и аналогия с формулой интегрирования по частям тут полностью сохраняется.

-- Sat Jan 09, 2010 09:47:55 --

ewert в сообщении #278237 писал(а):

Указывать же пределы суммирования -- и вовсе считают дурным тоном.

У оператора формального суммирования (как и у неопределенного интеграла) нет пределов.

[vek88]

Есть старый способ проверки читателей "на вшивость" - оставить в тексте замеченную опечатку. Не слишком серьезную в том смысле, что внимательный читатель поймет, что это опечатка.

А потом посмотреть, при удобном случае (например, на экзамене), насколько внимательно читатель изучал эту книгу.

[ewert]

maxal в сообщении #278923 писал(а):

Просто в формуле суммирования по частям также имеется пропуск

да там текст (в этом конкретно месте, других я не читал) преимущественно из пропусков-то и состоит. Что (в силу моего занудства) -- не есть вполне хорошо.

vek88 в сообщении #278931 писал(а):

Есть старый способ проверки читателей "на вшивость" - оставить в тексте замеченную опечатку.

Нет, это явно не тот случай. Эти т.т. явно просто сразгильдяйничали (обвинить их в безграмотности было бы, конечно, даже не то что некорректно, а просто неверно).