2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Двойной интеграл
Сообщение09.01.2010, 13:50 


20/01/08
113
Здравствуйте: хотел спросить совета насчет одной задачки по математическому анализу. А именно задачи из "Б.П.Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу" под номером 3936.
Звучит она так:
Вычислить интеграл:
$$\int\int_{G}y^2dxdy$$, если $G$ ограничена осью абсцисс и первой аркой циклоиды $x=a(t-\sin t)$ и $y=a(1-\cos t)$ $(0 \le t \le 2\pi)$

1) Выражаю: $x=a\arccos(\frac{a-y}{y})-\sqrt{2ay-y^2}$.
2) Приступаю к делу: $$\int\int_{G}y^2dxdy=\int_{0}^{2a}dy\int_{a\arccos(\frac{a-y}{y})-\sqrt{2ay-y^2}}}^{2a\pi-a\arccos(\frac{a-y}{y})+\sqrt{2ay-y^2}}y^2dx=\int_{0}^{2a}y^2(2a\pi-2a\arccos(\frac{a-y}{y})+2\sqrt{2ay-y^2}}})dy$$
В дальнейшем, когда я считаю этот интеграл, то получаются не очень хорошие вещи. Вроде все задачи идующие до этого вообще не сложные, а здесь возникла проблема. Может как-то по-другому надо его считать? Подскажите, пожалуйста :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной интеграл
Сообщение09.01.2010, 14:04 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Everest в сообщении #278820 писал(а):
1) Выражаю: $x=arccos(\frac{a-y}{y})-\sqrt{2ay-y^2}$.

Несоблюдение размерности в первом слагаемом бросается в глаза.
Во втором --- как-то больно ловко у Вас синус (на отрезке $[0,2\pi]$) заменился квадратным корнем. Без всяких $\pm\sqrt{\strut\ldots}$. Наверное, это было бы справедливо на первой половине отрезка. А может, и весь интеграл можно взять на этой половине, а потом чисто на двоечку помножить?
Чо-то плохо думается...

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной интеграл
Сообщение09.01.2010, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5917
Новосибирск
Да просто тупо сведите к повторному:

$\iint \limits_{G} y^2 dxdy=\int\limits_0^{2\pi a}dx\int\limits_0^{y(x)}y^2dy ... $

Для взятия внутреннего интеграла не нужно знать явного выражения через переменную $x$ функции $y(x)$, график которой называют первой аркой циклоиды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной интеграл
Сообщение09.01.2010, 14:11 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Ой, вроде $x=y=0$ --- вполне законная точка на циклоиде, а с аргуметном арккосинуса при $y=0$ ужасники творятся!

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной интеграл
Сообщение09.01.2010, 14:12 


20/01/08
113
AKM, согласен, что забыл на a домножить :)
Циклоида

bot, ну согласен, что для взятия внутреннего интеграла не нужно знать явного выражения. А потом, что делать с внешним?

-- Сб янв 09, 2010 15:16:19 --

Вроде начинает до меня доходить :) Извините, что глупости писать начал :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной интеграл
Сообщение09.01.2010, 14:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5917
Новосибирск
Ну вот так сразу и скажи ... , а Вам что останется?
Ну хорошо, ещё чуть-чуть и больше не просите:
Если один раз не понадобилось явного выражения игрека через икс, то и второй раз может быть не понадобится?...
Замены переменной ведь бывают ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной интеграл
Сообщение09.01.2010, 14:18 


20/01/08
113
Спасибо :) Еще раз извините меня за глупые вопросы :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной интеграл
Сообщение09.01.2010, 14:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5917
Новосибирск
Ну, если разобрались, то полезно будет посмотреть ещё формулу Грина - фактически ровно эти же вычисления и получатся.
Хотя эта задача, если я правильно помню, идёт ещё до этой формулы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group