Двойной интеграл

[Everest]

Здравствуйте: хотел спросить совета насчет одной задачки по математическому анализу. А именно задачи из "Б.П.Демидович - Сборник задач и упражнений по математическому анализу" под номером 3936.
Звучит она так:
Вычислить интеграл:

$$\int\int_{G}y^2dxdy$$

, если $G$ ограничена осью абсцисс и первой аркой циклоиды $x=a(t-\sin t)$ и $y=a(1-\cos t)$ $(0 \le t \le 2\pi)$

1) Выражаю: $x=a\arccos(\frac{a-y}{y})-\sqrt{2ay-y^2}$.
2) Приступаю к делу:

$$\int\int_{G}y^2dxdy=\int_{0}^{2a}dy\int_{a\arccos(\frac{a-y}{y})-\sqrt{2ay-y^2}}}^{2a\pi-a\arccos(\frac{a-y}{y})+\sqrt{2ay-y^2}}y^2dx=\int_{0}^{2a}y^2(2a\pi-2a\arccos(\frac{a-y}{y})+2\sqrt{2ay-y^2}}})dy$$

В дальнейшем, когда я считаю этот интеграл, то получаются не очень хорошие вещи. Вроде все задачи идующие до этого вообще не сложные, а здесь возникла проблема. Может как-то по-другому надо его считать? Подскажите, пожалуйста :)

[AKM]

Everest в сообщении #278820 писал(а):

1) Выражаю: $x=arccos(\frac{a-y}{y})-\sqrt{2ay-y^2}$.

Несоблюдение размерности в первом слагаемом бросается в глаза.
Во втором --- как-то больно ловко у Вас синус (на отрезке $[0,2\pi]$) заменился квадратным корнем. Без всяких $\pm\sqrt{\strut\ldots}$. Наверное, это было бы справедливо на первой половине отрезка. А может, и весь интеграл можно взять на этой половине, а потом чисто на двоечку помножить?
Чо-то плохо думается...

[bot]

Да просто тупо сведите к повторному:

$\iint \limits_{G} y^2 dxdy=\int\limits_0^{2\pi a}dx\int\limits_0^{y(x)}y^2dy ... $

Для взятия внутреннего интеграла не нужно знать явного выражения через переменную $x$ функции $y(x)$, график которой называют первой аркой циклоиды.

[AKM]

Ой, вроде $x=y=0$ --- вполне законная точка на циклоиде, а с аргуметном арккосинуса при $y=0$ ужасники творятся!

[Everest]

AKM, согласен, что забыл на a домножить :)
Циклоида

bot, ну согласен, что для взятия внутреннего интеграла не нужно знать явного выражения. А потом, что делать с внешним?

-- Сб янв 09, 2010 15:16:19 --

Вроде начинает до меня доходить :) Извините, что глупости писать начал :)

[bot]

Ну вот так сразу и скажи ... , а Вам что останется?
Ну хорошо, ещё чуть-чуть и больше не просите:
Если один раз не понадобилось явного выражения игрека через икс, то и второй раз может быть не понадобится?...
Замены переменной ведь бывают ...

[Everest]

Спасибо Еще раз извините меня за глупые вопросы

[bot]

Ну, если разобрались, то полезно будет посмотреть ещё формулу Грина - фактически ровно эти же вычисления и получатся.
Хотя эта задача, если я правильно помню, идёт ещё до этой формулы.