Теорема о счетномерных банаховых пространствах

[AD]

AlexDem в сообщении #278362 писал(а):

Хотелось бы почитать так же что-нибудь в контексте, возможно просьба fish-ka была сформулирована лучше :

fish-ka в сообщении #277983 писал(а):

Я не о том. Раз вы говорите, что знаете ее, то знаете и источник (то есть книгу), где она изложена (возможно с доказательством).

Эта тема является источником, в ней эта теорема изложена, и даже с доказательством. Я её знаю на слух и без труда доказываю, мне хватает.

ewert в сообщении #278364 писал(а):

Это невозможно.

Уже давно с этим разобрались.

-- Чт янв 07, 2010 21:06:03 --

Вообще, мне кажется, это есть глубокий "бойан", и это есть в любом учебнике по функциональному анализу, в районе теоремы Бэра.

[ewert]

и что же понимается под "объединением"?...

(в явном виде этого вроде нигде не прозвучало)

[AD]

Ясно, что там подразумевались примерно такие вложенные подпространства:

AD в сообщении #277984 писал(а):

$n$-е подпространство $E_n=\mathrm{span}\langle e_1,\ldots,e_n\rangle$

[ewert]

(Оффтоп)

ну уж это никак не назовёшь объединением.

Я-то сперва предположил, что имеется в виду их сумма -- но потом призадумался: просто сумма или её замыкание?... -- да так и плюнул. На Рождество да и ребусы-то разгадывать.

[AD]

(Оффтоп)

Цитата:

ну уж это никак не назовёшь объединением.

почему же?

[AlexDem]

Что-то всё равно не понимаю. А что имеется в виду, когда говорится "алгебраическая размерность"? Базис Гамеля, который требует конечности разложения по базисным векторам?

Вот, берём, например, материал "Базис гильбертова пространства", читаем:

Цитата:

в случае бесконечномерного пространства $V$, будем называть базисом последовательность линейно независимых векторов $\{e_i\}_{i=1}^\infty$, $e_i \in V$ если любой элемент $f$ из $V$ может быть однозначно представлен в виде сходящегося ряда $f = \sum\limits_{i=1}^\infty f^i e_i$
<...>
С пространством $l_2$ все относительно просто, так как каждый вектор $x \in l_2$ характеризуется счетным набором чисел.

В общем, там при счётном базисе пространство полным называют. Это какой-то в другом смысле базис имеется в виду?

[id]

AlexDem
Базис Гамеля, линейный то есть.

Базис Шаудера для банаховых ( не гильбертовых ) пространств как-то не особо... не особо всегда существует.
Вы же в Вашей цитате по сути на базис Шаудера и ссылаетесь.

[AlexDem]

id, спасибо.

[ewert]

id в сообщении #278448 писал(а):

Базис Шаудера для банаховых ( не гильбертовых ) пространств как-то не особо... не особо всегда существует.

Во-первых, для гильбертовых тоже. Во-вторых, это утверждение приблизительно соответствует следующему: сепарабельных пространств в практике не особо... не особо так встречается...

[id]

ewert
Существуют сепарабельные банаховы пространства, не обладающие базисом Шаудера. ( см. Хелемский, "Лекции ...", Глава 3, параграф 3, теорема 3 "П. Энфло, 1972")

Ну, если считать "несчетный базис Шаудера" базисом Шаудера, то во всех. Ибо во всяком гильбертовом существуют тотальные ортонормированные системы.

[ewert]

id в сообщении #278478 писал(а):

Существуют сепарабельные банаховы пространства, не обладающие базисом Шаудера.

я в курсе (потому и "приблизительно"), но практически это некоторая экзотика

[id]

ewert
Однако ж, слово "сепарабельных" попутало смысл весьма.
Если б вместо него была какая-нибудь однословесная, нетривиальная необходимая и достаточная характеристика обладания базисом Шаудера...

[Padawan]

ewert в сообщении #278364 писал(а):

fish-ka в сообщении #277974 писал(а):

Указание. Представьте счетномерное банахово пространство как объединение счетного числа конечномерных пространств.

Это невозможно. Объединение линейных пространств не есть линейное пространство.

(при формулировании задачи желательно следить за тем, чтоб эта формулировка имела хоть сколько-то точный смысл)

А если они вложены друг в друга?

[id]

Ну так в том и идея в той задаче.