Что-то всё равно не понимаю. А что имеется в виду, когда говорится "алгебраическая размерность"?
Базис Гамеля, который требует конечности разложения по базисным векторам?
Вот, берём, например, материал "
Базис гильбертова пространства", читаем:
Цитата:
в случае бесконечномерного пространства

, будем называть базисом последовательность линейно независимых векторов

,

если любой элемент

из

может быть однозначно представлен в виде сходящегося ряда

<...>
С пространством

все относительно просто, так как каждый вектор

характеризуется счетным набором чисел.
В общем, там при счётном базисе пространство полным называют. Это какой-то в другом смысле базис имеется в виду?