Основания математики - элементарное рассмотрение

[Someone]

vek88 в сообщении #277445 писал(а):

У-ти-пути, какие мы страшные.

Не хамите.

vek88 в сообщении #277445 писал(а):

И ктой-то Вас научил, что термин нельзя определять через самого себя?

Нельзя, и никогда не определяется.

vek88 в сообщении #277445 писал(а):

Т.е. Вы изгоняете рекурсивные определения из Вашего "математического рая"? А уж про трансфинитную индукцию Вам даже и напоминать нельзя?

Не идиотствуйте. Рекурсивные определения не определяют объект через самого себя.

vek88 в сообщении #277445 писал(а):

В этом исчислении выводимы в точности слова вида $N$, $N/$, $N//$, ... , представляющие натуральные числа. При этом понятие натурального числа благополучно определялось через самого себя!

Не вижу здесь определения понятия натурального числа. Когда напишете "натуральным числом будем называть ...", тогда посмотрим.

[vek88]

Xaositect в сообщении #277463 писал(а):

Очень хорошо.
Определение такое: Множество натуральных чисел - это множество всех строк $x$ таких, что формула $Nx$ выводима в формальной системе с аксиомой(которую Вы забыли) $\vdash N$ и правилом вывода $Nx\vdash Nx|$.

В правой части определения множества натуральных чисел нет.

Аксиому я не забыл - посмотрите, пожалуйста, внимательно. У меня написано "Аксиома: $N$"

Спорить о термнологии - очень неблагодарное дело - особенно на форумах.

Вы только что определили множество $N$ своим способом - как множество слов, выводимых в определенной формальной системе. Тогда, разумеется, у Вас $N$ определяется в два этапа: (1) сначала множество $n$ выводимых в этой системе слов, (2) Вы просто говорите, что $N=n$. Разумеется, Вы имеет право так делать. Хотя мне кажется, что это усложняет дело.

Но ведь можно просто отождествить множество с формальной системой. По этому вопросу отсылаю к авторитетному (для меня) автору, а именно, к уже упомянутой книге Мартин-Лёфа "Очерки по конструктивной математике". Русское издание не могу найти, поэтому вот цитата из английского: "A recursively enumerable set of words in a given alphabet is a Post system whose alphabet is an extension of the given alphabet." Соответственно, в духе этого определения, рекурсивно перечислимое множество натуральных чисел - это в точности вышеприведенная каноническая система (или исчисление) Поста. А вспомогательный символ $N$ - это имя данного множество, которое понадобится, когда мы начнем строить неоторые новые множества, используя множество натуральных чисел.

Наконец, можно просто сказать, что в некоторой канонической системе (или иной формальной системе, возможно, инфинитарной) у нас определено бинарное отношение $\in$. А дальше мы просто говорим, что выводимость $A \in B$ в этой системе означает, что $A$ - элемент множества $B$. Разумеется, только если возможна интерпретация в классической логике. Иначе, как кто-то уже напомнил, Вы определили классы.

[Xaositect]

vek88 в сообщении #277474 писал(а):

Аксиому я не забыл - посмотрите, пожалуйста, внимательно. У меня написано "Аксиома: "

Извиняюсь, не заметил.

vek88 в сообщении #277474 писал(а):

Но ведь можно просто отождествить множество с формальной системой. По этому вопросу отсылаю к авторитетному (для меня) автору, а именно, к уже упомянутой книге Мартин-Лёфа "Очерки по конструктивной математике". Русское издание не могу найти, поэтому вот цитата из английского: "A recursively enumerable set of words in a given alphabet is a Post system whose alphabet is an extension of the given alphabet." Соответственно, в духе этого определения, рекурсивно перечислимое множество натуральных чисел - это в точности вышеприведенная каноническая система (или исчисление) Поста. А вспомогательный символ - это имя данного множество, которое понадобится, когда мы начнем строить неоторые новые множества, используя множество натуральных чисел.

В этом случае множество натуральных чисел также не определяется через самое себя.
Раз (рекурсивно перечислимое) множество - это формальная система, то мы так и пишем: Множество натуральных чисел есть система в алфавите $\{N, |\}$ с аксиомой $N$ и правилом вывода $Nx\vdash Nx|$.
Опять же, справа множества натуральных чисел нет.

[vek88]

vek88 в сообщении #277474 писал(а):

Наконец, можно просто сказать, что в некоторой канонической системе (или иной формальной системе, возможно, инфинитарной) у нас определено бинарное отношение $\in$. А дальше мы просто говорим, что выводимость $A \in B$ в этой системе означает, что $A$ - элемент множества $B$. Разумеется, только если возможна интерпретация в классической логике. Иначе, как кто-то уже напомнил, Вы определили классы.

Уважаемый, Xaositect!

Прокомментируйте, пожалуйста, и этот абзац.

[Xaositect]

Хороший абзац Примерно так аксиоматические теории множеств и построены: есть теория, если мы доказали утверждение $\exists ! z P(z)$, то можем определить множество $p$: $(z = p) \equiv P(z)$. Если доказали утверждение $a\in b$ - говорим, что $a$ есть элемент множества $b$.

[vek88]

Xaositect в сообщении #277488 писал(а):

Хороший абзац Примерно так аксиоматические теории множеств и построены: есть теория, если мы доказали утверждение $\exists ! z P(z)$, то можем определить множество $p$: $(z = p) \equiv P(z)$. Если доказали утверждение $a\in b$ - говорим, что $a$ есть элемент множества $b$.

Но тогда почему я не имею права задать, например, такую каноническую систему.

Знаки: $A$ $\in$
Аксиома: $A \in A$
Правило вывода: если $A \notin A$, то $A \in A$

Здесь определяемое понятие находится как в заключении правила, так и в его посылке. Но ничего страшного при этом не происходит - благодаря аксиоме я заключаю, что $A \in A$.

[Xaositect]

Здесь та же ситуация, что и с натуральными числами.
Там было правило $Nx\vdash Nx|$, но множество натуральных чисел не определялось через себя, а только через соответствие этому правилу (или, отождествляя множества с правилами, как сама формальная система).
Точно так же и здесь, можно сказать, что $A$ есть множество, удовлетворяющее любому свойству вида $x\in A$, выводимому в некоторой формальной системе. Справа самого множества $A$ нет, есть только теория, а внутри теории множества $A$ нет, есть только буква "$A$". При этом вполне может оказаться, что такое определение некорректно, т.е. таких множеств либо не существует, либо много.

Тут надо четко различать уровень теории (когда мы говорим о выводимости конкретной строки в формальной системе) и метатеории(когда мы говорим о самой системе и ее свойствах). Внутри теории можно сказать, что $N|||||$, но, скажем, утверждение "для любого $x$ справедливо следующее свойство: если $Nx$, то $Nxx$" - это уровень метатеории. Для второй теории пример: $A\in A$ - теорема теории, а существование модели теории - вопрос метатеории.

[vek88]

Спасибо, Xaositect, за разъяснение Вашей точки зрения.

На мой взгляд, имеют право на существование два подхода: конструктивный и экзистенциальный.

При конструктивном подходе я вижу "букву $A$" и для меня это "множество $A$, определяемое конкретной формальной системой". Для меня нет ничего кроме формальных систем и того, что построено в них. В том числе, метатеории, метаметатеории и т.д. - это тоже формальные системы для рассуждения о теориях более низкого уровня. Разумеется, я не верю в существование каких-то еще множеств вне моих формальных систем. И мне не нужно использовать определения типа "множество $N$ - то множество слов выводимых в такой-то формальной системе". Я просто говорю, что "буква $N$" обозначает множество (или является множеством) натуральных чисел.

А при экзистенциальном подходе я считаю, что существуют некие бесконечные множества вне моих формальных систем и независимо от моего знания о них. При этом я поступаю в точности, как Вы.

Обращаю внимание, что конструктивизм я трактую широко и не ограничиваю его финитными формальными системами.

Кроме того, я считаю, что оба подхода нужны, важны, и только при совместном их рассмотрении можно узнать много нового и интересного об основаниях математики.

[Дима Тишков]

Возвращаясь к множеству Рассела.
Корректное определение - это такое определение, которое для данного объекта позволяет проверить, удовлетворяет ли он этому определению, и не более того. Когда мы даем определение, мы вовсе не предполагаем, что существует объект, удовлетворяющий ему. Например, мы можем определить гиперёлку как ель высотой больше 50 км. Это вполне корректное определение.
Противоречие в парадоксе Рассела возникает в предположении, что множество Рассела существует. Это противоречие доказывает только, что такого множества быть не может, но еще не доказывает некорректность его определения.

[vek88]

Дима Тишков в сообщении #277594 писал(а):

Возвращаясь к множеству Рассела.
Корректное определение - это такое определение, которое для данного объекта позволяет проверить, удовлетворяет ли он этому определению, и не более того. Когда мы даем определение, мы вовсе не предполагаем, что существует объект, удовлетворяющий ему. Например, мы можем определить гиперёлку как ель высотой больше 50 км. Это вполне корректное определение.
Противоречие в парадоксе Рассела возникает в предположении, что множество Рассела существует. Это противоречие доказывает только, что такого множества быть не может, но еще не доказывает некорректность его определения.

Спасибо, что напомнили нашу тему. А то мы тут увлеклись не относящимся к теме вопросом. А перед тем, как нас куда-то занесло, я утверждал, что мы должны выбирать одно из двух:

- либо ничем не ограниченная свобода определений множеств, но тогда прощай классическая логика;

- либа мы должны как-то ограничить эту свободу, а за это мы получим в награду возможность остаться в классической логике и в наивной теории множеств.

Что такое определение? Выбирайте кому что нравится. Лишь бы Ваши определения позволяли действительно определять, строить, перечислять (и т.д.) эти множества.

Относительно корректности определения множества. Я считал определение множества некорректным, если оно приводило к противоречию. Вы можете считать его некорректным, если в предположении существования определяемого множества возникает противоречие. Не нравится? Давайте вообще уберем понятие корректного/некорректного определения.

А если по сути, меня пока никто не опроверг. Например, "кто-то" здесь сказал, что

"Определение $A=\{x:x\notin x\}$ совершенно законно и определяет класс множеств, не содержащих себя в качестве элемента. Ни к каким противоречиям такое определение не приводит. Противоречие возникает, если мы объявляем класс $A$ множеством."

Это один пример ограничения на свободу определений множеств: мы сначала определяем классы, а только потом смотрим, можно ли назвать их множествами.

А Вы предлагаете иной способ ограничения свободы определений множеств: если предположение о существовании некоторого множества приводит к противоречию, то значит такое множество не существует (фактически это означает, что определенный нами объект не является множеством и можно назвать его классом).

А самое главное, с чего я начал, - это слабость мышления у людей. Ведь вот прошел целый век, а мы ломаем копья по поводу парадокса Рассела.

Предлагаю теперь поговорить о теореме Гёделя. Как народ на это смотрит?

[Дима Тишков]

vek88 в сообщении #277601 писал(а):

- либо ничем не ограниченная свобода определений множеств, но тогда прощай классическая логика;

- либа мы должны как-то ограничить эту свободу, а за это мы получим в награду возможность остаться в классической логике и в наивной теории множеств.

Непонятно, что значит "остаться в наивной теории множеств". Как избавиться от парадоксов, не вводя ограничения в аксиоматику? Просто сказать, что нельзя определять противоречивые множества, боюсь, не достаточно - а если множества, непротиворечивые сами по себе, противоречат друг другу?

[vek88]

Дима Тишков в сообщении #277606 писал(а):

Непонятно, что значит "остаться в наивной теории множеств". Как избавиться от парадоксов, не вводя ограничения в аксиоматику? Просто сказать, что нельзя определять противоречивые множества, боюсь, не достаточно - а если множества, непротиворечивые сами по себе, противоречат друг другу?

Уважаемый Дима Тишков!

Ну не остаться, а "почти остаться". А если серьезно, Вы меня подбиваете на рассмотрение конкретных способов формализации, а я этого не собирался делать и уже говорил, что использую предметную область Основания математики лишь с цель иллюстрации ограниченности и слабости нашего мышления. Ведь Вы только подумайте - парадоксу Рассела более 100 лет. Над ним ломали головы выдающиеся математики. И у нас тут на форуме нескончаемый базар. Все это ставит под сомнение мыслительные возможности людей - это все, что я хочу показать.

Как сказал лет 30 тому назад Э. Дейкстра: "... человек соображает медленно, а емкость его памяти очень мала, и ему следует получше научиться жить в таких условиях, учитывать ограниченность своих возможностей и относиться к ней с полным уважением, а не пытаться игнорировать ее, так как такие тщеславные попытки будут обречены на неудачу".

[Владимир Рогожин]

vek88 в сообщении #277535 писал(а):

...А при экзистенциальном подходе я считаю, что существуют некие бесконечные множества вне моих формальных систем и независимо от моего знания о них. При этом я поступаю в точности, как Вы.

Обращаю внимание, что конструктивизм я трактую широко и не ограничиваю его финитными формальными системами.

Кроме того, я считаю, что оба подхода нужны, важны, и только при совместном их рассмотрении можно узнать много нового и интересного об основаниях математики.

Вы уже "элементарно" рассмотрели эти оба подхода? Пожалуйста, ссылку.
По дискуссии наверху - не нашел.

[vek88]

Попробуйте посмотреть: Гейтинг А. Интуиционизм. - М.: Мир, 1965. И уже упоминавшегося Мартин-Лёфа. Какие-то трансфинитные формальные системы, эквивалентные по выразительным возможностям $\Pi^1_1$-множествам, фигурировали в печати лет 20 назад при изучении семантики языка программирования Пролог (с отрицанием).

Со своей стороны попытаюсь найти что-то еще - если получится, сообщу.

[vek88]

Нашел ссылку на пример трансфинитной формальной системы: Скворцов Д.П. О связи К-систем (формальных систем с исключениями) и аналитической иерерхии числовых множеств. Семиотика и информатика. Вып. 29. - 1989, с. 145 - 163.

По поводу 2-х подходов см. также в Интернете по ключевым словам конструктивизм, интуиционизм. Интересных обсуждений очень много и хорошо объясняется отличие от классического подхода.