Область применимости ВТФ

[Виктор Ширшов]

"Адская" теорема Ферма сформулирована применительно к Диофантову уравнению $z^n=x^n+y^n$. А вот Вам расширенная теорема: "СУММА ВСЕХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ЛЮБОЙ СТЕПЕНИ, КРОМЕ ПЕРВОЙ, БОЛЬШЕ СУММЫ КАЖДОГО ОТДЕЛЬНОГО ЧЛЕНА НАТУРАЛЬНОГО РЯДА В ТОЙ ЖЕ СТЕПЕНИ".
На математическом языке это выглядит так: $[\frac{n(n+1)}{2}]^n>1^n+2^n+3^n+4^n+...+n^n$ при $n>1$.
Справедливость данного утверждения доказывается тем же путём, что и ВТФ. Этот путь уже известен. Можно ещё применить доказательство по индукции.

[age]

[vlata]

Виктор Ширшов в сообщении #276211 писал(а):

Справедливость данного утверждения доказывается тем же путём, что и ВТФ.

- гораздо проще.
Сумма кубов первых членов ряда натуральных чисел равна квадрату суммы их оснований (равна квадрату суммы этих первых членов ряда). Следовательно, сумма кубов первых членов ряда натуральных чисел меньше куба суммы их оснований (меньше куба суммы этих первых членов ряда).
Арифметическая прогрессия...

[Виктор Ширшов]

vlata в сообщении #276251 писал(а):

Сумма кубов первых членов ряда натуральных чисел равна квадрату суммы их оснований (равна квадрату суммы этих первых членов ряда).

vlata. Я этого не знал. Действительно, $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$. Очевидно, для всего натурального ряда эта закономерность выполняется. Но Ваше доказательство вряд ли устроит участника под ником Shwedka.

[Батороев]

Виктор Ширшов в сообщении #276305 писал(а):

vlata в сообщении #276251 писал(а):

Сумма кубов первых членов ряда натуральных чисел равна квадрату суммы их оснований (равна квадрату суммы этих первых членов ряда).

vlata. Я этого не знал. Действительно, $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$. Очевидно, для всего натурального ряда эта закономерность выполняется.

Не так давно мы с Вами обсуждали подобный вопрос (в ныне закрытой теме):

Цитата:

Батороев писал:

Я могу Вам показать, как это получается, но более квалифицированную информацию Вы получите из статей про треугольные числа.

Кстати, может Вам пригодиться для рассмотрения ВТФ для 3-й степени,
т.к.
$ a^3=T_a^2-T_{a-1}^2$

На что Вы ответили:

Цитата:

Виктор Ширшов писал:

Мне это не надо.

Выходит, зря зарекались,

т.к. $1+2^3+3^3+...+a^3=(1+2+3+...+a)^2=T_{a}^2$.

[Виктор Ширшов]

Батороев, здравствуйте! "Все пути ведут в Рим". Что у Вас обозначает $T_a$? А впрочем, очевидно, это - некоторое число, квадрат которого равен сумме всех членов произвольного натурального ряда, возведённых в куб. По-видимому, Вы уже вывели и формулу, позволяющую определить этот квадрат для любого натурального ряда. К примеру, $a^3=100^3$. Ведь, о приоритете мы не заботимся, как другие. Тем более, что на том свете он не пригодится.

[Виктор Ширшов]

Виктор Ширшов в сообщении #276327 писал(а):

По-видимому, Вы уже вывели и формулу, позволяющую определить этот квадрат для любого натурального ряда. К примеру, . Ведь, о приоритете мы не заботимся, как другие. Тем более, что на том свете он не пригодится.

А формула такая $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+...+100^3=[\frac{(100)(100+1)}{2}]^2$.
Отсюда и до общей формулы недалеко.

[Коровьев]

Виктор Ширшов в сообщении #276374 писал(а):

Виктор Ширшов в сообщении #276327 писал(а):

По-видимому, Вы уже вывели и формулу, позволяющую определить этот квадрат для любого натурального ряда. К примеру, . Ведь, о приоритете мы не заботимся, как другие. Тем более, что на том свете он не пригодится.

А формула такая $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+...+100^3=[\frac{(100)(100+1)}{2}]^2$.
Отсюда и до общей формулы недалеко.

А с какой стати я или кто-то должен верить этому примеру?
А вдруг при при сложении 9876543210 членов это не так? Убедите тутошный народ, что это так. Иль не под силу?

[vlata]

Виктору Ширшову.
Не совсем так. Вот смотрите.
Прогрессия, это последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некоей, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.
Для ряда кубов (как для прогрессии) изветна зависимость каждого члена от предыдущего. Следовательно, можно определить сумму первых членов из ряда кубов, - сумму прогресии.
Ряд натуральных чисел тоже прогрессия. И в этом случае можно определить сумму первых членов ряда, - сумму прогрессии.
Теперь уравниваем сумму прогрессии из ряда кубов и квадрат суммы прогрессии из натурального ряда. Разумеется, суммы находим для равного количества первых членов.
Всё. Правда нужно показать почему равны эти величины.
Но только не через треугольные числа… - Объяснял Пифагор ученикам про треугольные числа, для наглядности, с помощью камешков, так потомки взяли и оставили это детсадовское объяснение:
"треугольное число - это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника, - смотрите рисунок…"
А первый член в последовательности треугольных чисел это... ноль. - Вероятно, это такая первая форма равностороннего треугольника.

Коровьеву
Тут Батороев упоминал треугольные числа. Вот Вы, как знающий человек, как специалист, объясните следующее. Есть формула для n-го треугольного числа. С её помощью я могу определить для n= 9876543210 значение самого треугольного числа. А как проверить? - Все эти миллионы кружочков в равносторонний треугольник врисовывать? Или есть таблицы треугольников с кружочками для проверки?

[Батороев]

Виктор Ширшов в сообщении #276327 писал(а):

Батороев, здравствуйте! "Все пути ведут в Рим". Что у Вас обозначает $T_a$? А впрочем, очевидно, это - некоторое число, квадрат которого равен сумме всех членов произвольного натурального ряда, возведённых в куб.

Нет, это одно из свойств треугольных чисел.
А определение звучит так:

Цитата:

Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника.

(Википедия).

Если нарисовать первые $a$ кружков, то нетрудно убедится, что $a$-ое треугольное число равно сумме всех натуральных чисел до $a$ включительно.

Рассчитывается по формуле: $T_a=\dfrac{a\cdot (a+1)}{2}$
(как сумма $a$ членов арифметической прогрессии, коей и является натуральный ряд).

Проверка принадлежности числа $n$ к треугольным числам осуществляется проверкой целочисленности выражения:
$ \sqrt{8n+1}$.
Если выражение целочисленно, то индекс данного треугольного числа равен:
$ a=\dfrac{\sqrt{8n+1}-1}{2}$

-- Ср дек 30, 2009 12:15:10 --

vlata в сообщении #276400 писал(а):

Правда нужно показать почему равны эти величины.
Но только не через треугольные числа… - Объяснял Пифагор ученикам про треугольные числа, для наглядности, с помощью камешков, так потомки взяли и оставили это детсадовское объяснение:
"треугольное число - это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника, - смотрите рисунок…"

Ваш скептицизм от незнания...

Разность $T_a-T_{a-1}=a$
Сумма $T_a+T_{a-1} = a^2$

Следовательно,
$T_a^2 - T_{a-1}^2 = a^3$.

А теперь складывайте кубы последовательных натуральных чисел и получите то, что хотели.

[age]

Цитата:

Область применимости ВТФ

Цитата:

На математическом языке это выглядит так: $[\frac{n(n+1)}{2}]^n>1^n+2^n+3^n+4^n+...+n^n$ при $n>1$.

- это не является областью применимости теоремы Ферма.

[vlata]

Батороев в сообщении #276422 писал(а):

Ваш скептицизм от незнания...

Да как вам будет угодно, так и думайте...

age в сообщении #276511 писал(а):

- это не является областью применимости теоремы Ферма.

- а если в правой части оставить только два слагаемых?... принять эту сумму равной левой части неравенства... - приблизить к равенству Ферма. Потом использовать равенство суммы кубов и квадрата суммы их оснований...
- Как Вам такой вариант?

[Виктор Ширшов]

vlata в сообщении #276539 писал(а):

а если в правой части оставить только два слагаемых?... принять эту сумму равной левой части неравенства... - приблизить к равенству Ферма. Потом использовать равенство суммы кубов и квадрата суммы их оснований...
- Как Вам такой вариант?

Или такой вариант. ВТФ сформулирована для бинома, а расширенная - для полинома.

[vlata]

Виктор Ширшов в сообщении #276546 писал(а):

Или такой вариант. ВТФ сформулирована для бинома, а расширенная - для полинома.

- Это с какого перепугу?

[Виктор Ширшов]

vlata в сообщении #276577 писал(а):

Или такой вариант. ВТФ сформулирована для бинома, а расширенная - для полинома.


- Это с какого перепугу?

Это был зашифрованный ответ age,

age в сообщении #276511 писал(а):

- это не является областью применимости теоремы Ферма.