Доказать полноту в L2

[alexey007]

Привет всем! Подскажите пожалуйста как доказать полнату в L2 относительно нормы $||f(x)||=\sqrt{\int|f(x)|^2dx}$. Натолкните на идею и какой теоремой нужно воспльзоваться. Зарание всем спасибо

[Полосин]

"Пойди туда, не знаю куда, принеси то, не знаю что".
Полноту какой системы нужно доказать?

[ewert]

надо попросту доказать полноту эль-два. А зачем надо -- этого я не знаю.

[alexey007]

ewert в сообщении #276352 писал(а):

надо попросту доказать полноту эль-два. А зачем надо -- этого я не знаю.

Подскажите пожалуйста, как доказать

-- Вт дек 29, 2009 23:16:58 --

Полосин в сообщении #276350 писал(а):

"Пойди туда, не знаю куда, принеси то, не знаю что".
Полноту какой системы нужно доказать?

Кажется понял, откуда такой вопрос возник. Это не конкретная задача как обычно дают в институтах. Это теоретическое упражнение на доказательство.

[Полосин]

alexey007 в сообщении #276320 писал(а):

...доказать полнату в L2 ...

Полнота в $L_2$ и полнота $L_2$ - это не одно и то же. Если имеется в виду второе, то откройте любой учебник по функциональному анализу.

[alexey007]

Полосин в сообщении #276394 писал(а):

alexey007 в сообщении #276320 писал(а):

...доказать полнату в L2 ...

Полнота в $L_2$ и полнота $L_2$ - это не одно и то же. Если имеется в виду второе, то откройте любой учебник по функциональному анализу.

Посоветуйте пожалуйста, учебник хороший учебник по функану я только по лециями учусь, учебники видел, а вот какой хороший не знаю. Спасибо

[AGu]

Идея доказательства зависит от того, какие факты разрешено использовать.
К примеру, самое короткое из известных мне доказательств полноты $L_p$ $(1<p<\infty)$
заключается в упоминании следующих двух фактов:

(1) сопряженное к $L_p$ пространство линейно изометрично $L_q$ $\bigl(\frac1p+\frac1q=1\bigr)$;
(2) если $X$ — нормированное пространство, а $Y$ — банахово пространство,
то пространство ограниченных линейных операторов из $X$ в $Y$ полно.

[nckg]

Доказательство полноты $L_p$ с точки зрения теории меры можно найти в Данфорде-Шварце (гл. III, $\S$ 6, теор. 6)

[alexey007]

nckg в сообщении #276455 писал(а):

Доказательство полноты $L_p$ с точки зрения теории меры можно найти в Данфорде-Шварце (гл. III, $\S$ 6, теор. 6)

Спасибо, книжку скачал, пролистал вроде хорошо написано буду к ней в изучении обращаться. Еще раз всем спасибо

[Полосин]

Возможно, окажется полезным:
В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа, часть II, глава 8. Мера и интеграл Лебега.

[Профессор Снэйп]

А мне тоже интересно стало. Хотя я про $L_2$ почти всё забыл. В связи с этим хочу спросить, верно ли следующее.

1) Пусть $X$ --- множество всех функций $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, таких что $f^2(x)$ интегрируема на $\mathbb{R}$ по Лебегу (и $\int_\mathbb{R} f^2(x) dx < \infty$). Тогда $X$ образует векторное пространство над $\mathbb{R}$.

2) Если для $f \in X$ положить $n(f) = \sqrt{\int_\mathbb{R} f^2(x) dx}$, то получим функцию $n$ из $X$ на $\mathbb{R}^+$, для которой $n(\lambda f) = |\lambda| n(f)$ и $n(f_1 + f_2) \leqslant n(f_1) + n(f_2)$. Однако $n$ --- не норма, ибо $n(f) = 0 \not\Rightarrow f = 0$.

3) Положим $Z = \{ f \in X : n(f) = 0 \}$. Тогда $Z$ --- подпространство в $X$. Пространство $L_2 = L_2(\mathbb{R})$ --- это фактор $X / Z$. На $L_2$ вводится норма $\| f + Z \| = n(f)$.

4) $Z$ --- это множество функций из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, почти везде равных нулю (то есть таких $f \in X$, что $\mathbb{R} \setminus f^{-1}(0)$ --- множество меры $0$).

5) Полное пространство --- это, по определению, такое пространство, в котором каждый фильтр Коши имеет предел. Фильтр Коши --- это фильтр $\mathcal{F}$ такой, что для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $F \in \mathcal{F}$, для которого $\mathrm{diam}(F) = \sup \{ \| x - y \| : x,y \in F \} < \varepsilon$. Предел фильтра $\mathcal{F}$ --- это точка $x$, для которой $\mathcal{F}_\mathcal{N}(x) \subseteq \mathcal{F}$, где $\mathcal{F}_\mathcal{N}(x) = \{ F :$ существует открытое множество $U$, для которого $x \in U \subseteq F \}$ --- фильтр окрестностей точки $x$.

6) Для доказательства полноты $L_2$ достаточно показать, что для любой последовательности $f_1, f_2, \ldots$ элементов $X$, такой что

$$ (\forall \varepsilon > 0)(\exists k \in \mathbb{N})(\forall i,j \in \mathbb{N})(i \geqslant k \mathop{\&} j \geqslant k \Rightarrow n(f_i - f_j) < \varepsilon) $$

существует функция $f \in X$, для которой

$$ (\forall \varepsilon > 0)(\exists k \in \mathbb{N})(\forall i \in \mathbb{N})(i \geqslant k \Rightarrow n(f - f_i) < \varepsilon) $$

-- Ср дек 30, 2009 23:14:54 --

(Оффтоп)

Понимаю, конечно, что лучше учебник почитать, чем людей спрашивать. Но вот попала вожжа под хвост: доказать полноту $L_2$, не заглядывая в книжки. Типа проверка памяти такая, насколько хорошо помню второй-третий курсы. Для начала решил уточнить определения; то ли я хочу доказывать.

Пожалуйста, кому не лень, просто скажите, всё правильно или нет. Если что-то неправильно, скажите что, буду вспоминать дальше

[RIP]

Профессор Снэйп в сообщении #276542 писал(а):

1) Пусть $X$ --- множество всех функций $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, таких что $f^2(x)$ интегрируема на $\mathbb{R}$ по Лебегу (и $\int_\mathbb{R} f^2(x) dx < \infty$). Тогда $X$ образует векторное пространство над $\mathbb{R}$.

Не образует. Нужно ещё потребовать измеримость $f$ (аналогично и в п. 4: "$Z$ --- это множество измеримых..." [это лишнее, поскольку мера Лебега является полной, поэтому любая функция, равная нулю п. в., измерима]; кроме того, интегрируемость по Лебегу подразумевает конечность интеграла, а не просто его существование). С учётом этой поправки остальное вроде бы верно. П. 5 можно смело опустить.

[Профессор Снэйп]

RIP в сообщении #276604 писал(а):

Не образует.

То есть Вы считаете, что для того множетва $X$, которое я определял в первом пункте, выполнено $n(f+g) > n(f) + n(g)$. Нельзя ли в таком разе предъявить конкретный пример пары функций $f,g \in X$?

RIP в сообщении #276604 писал(а):

потребовать измеримость $f$ (аналогично и в п. 4: "$Z$ --- это множество измеримых..."; кроме того, интегрируемость по Лебегу подразумевает конечность интеграла, а не просто его существование). С учётом этой поправки остальное вроде бы верно. П. 5 можно смело опустить.

Я считал, что интегрируемость подразумевает конечность интеграла и измеримость. То есть я говорю, что функция $f$ интегрируема на множестве $F$ (представляющем из себя пространство со счётно-аддитивной мерой $\mu$), если

1) Определим интегральную норму. Для функции $f$ она равна $\|| f \|| = \inf\Big\{ \sup \left\{ \int_F f_i d\mu : i \in \mathbb{N} \right\} :$ последовательность $\{ f_i \}_{i \in \mathbb{N}}$ мажорирует $f \Big\}$ меньше $+\infty$. Последовательность $\{ f_i \}_{i \in \mathbb{N}}$ мажорирует $f$, если каждая из функций этой последовательности кусочно-константная (интеграл для таких функций определяется непосредственно), $0 \leqslant f_1(x) \leqslant f_2(x) \leqslant \ldots$ и $|f(x)| \leqslant \lim_{i \to \infty} f_i(x)$.

2) $f$ измерима, если существует последовательность кусочно-константных функций $\{ f_i \}_{i \in \mathbb{N}}$, такая что $\lim_{i \to \infty} \|| f - f_i \|| = 0$.

3) Для последовательности $\{ f_i \}_{i \in \mathbb{N}}$ из предыдущего пункта предел $\lim_{i \to \infty} \int_F f_i d\mu$ существует. Он называется интегралом $\int_F f d\mu$, если он конечен.

Вроде как-то так нас в 1992 году учили на матане. Уже потом я услышал, что есть ещё какая-то измеримость, отличная от введённой в пункте 2. Дескать, функция измерима, если для неё прообраз любого борелевского множества является лебеговским (если измерима по Борелю, то борелевским). Не знаю даже, та же самая это измеримость или нет.

[RIP]

Интегрируемость, конечно, подразумевает измеримость, однако Вы предполагаете интегрируемость $f^2$, а отсюда измеримость $f$ не следует. Пусть $A\subseteq[0;1]$ --- неизмеримое множество, $B=[0;1]\setminus A$, $f=\chi_A-\chi_B$, $g=\chi_{[0;1]}$. Тогда $f^2=g^2=\chi_{[0;1]}$ интегрируемы, но $(f+g)^2=4\chi_A$ неизмерима.

[Профессор Снэйп]

Теперь понял, спасибо. Не обратил должного внимания на квадрат.