2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Доказать полнату в L2
Сообщение31.12.2009, 06:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Кстати, а как у Вас определялись кусочно-постонные функции?

(Оффтоп)

Кстати, у нас в курсе матанализа был интеграл Мак-Шейна для функций, определённых на отрезке, который определялся как предел интегральных сумм Римана по некоторой базе (вообще без всякой меры). К чему я это вспомнил? Оказывается, что функция $f\colon[a;b]\to\mathbb R$ интегрируема по Мак-Шейну тогда и только тогда, когда она интегрируема по Лебегу относительно классической меры Лебега, и в этом случае интегралы равны. Таким образом, "стандартный" интеграл Лебега можно определить в терминах интегральных сумм Римана, вообще без использования каких-либо мер!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полнату в L2
Сообщение31.12.2009, 07:00 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
RIP в сообщении #276648 писал(а):
Кстати, а как у Вас определялись кусочно-постонные функции?

$f$ называется кусочно-постоянной, если существует конечная дизъюнктная система $X_1, \ldots, X_k$ измеримых множеств, каждое конечной меры, такая что
$$f(x) =
\begin{cases}
y_i, & x \in X_i,\, 1 \leqslant i \leqslant k \\
0, &\text{иначе}
\end{cases}
$$
Вот эти множества $X_1, \ldots, X_k$ --- в случае интегрирования на $\mathbb{R}^n$ это "кубики" (декартовы произведения отрезков), а вообще --- множества, измеримые в какой-то самой исходной мере. Которая должна быть аддитивна, но не обязана быть счётно-аддитивной (счётная аддитивность появляется потом, когда эту меру расширяем при помощи интеграла Лебега).

Вроде так было. Хотя боюсь наврать, ибо было давно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полнату в L2
Сообщение31.12.2009, 08:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Я так и думал. Тогда данное Вами определение измеримости очень странное: оно больше похоже на определение интегрируемости. Для измеримости больше подошла бы сходимость по мере, а не в среднем. Лень думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полнату в L2
Сообщение31.12.2009, 13:38 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
RIP в сообщении #276652 писал(а):
Тогда данное Вами определение измеримости очень странное: оно больше похоже на определение интегрируемости.
Ага, это интегрируемость. В рамках одного из классических подходов под измеримой функцией понимают такую функцию $f$, что ее срезки $(f\lor s)\land(-s)$ положительными простыми функциями $s$ интегрируемы. Что считать простыми функциями — дело вкуса. Это могут быть упомянутые «кусочно-константные» функции или непрерывные функции с компактным носителем (если область определения — что-то в $\mathbb R^n$) и пр. Есть и другие критерии измеримости, которые можно использовать в качестве определения. Например, функция $f$ измерима тогда и только тогда, когда $f$ измерима относительно $(\Sigma,\mathcal B)$, где $\Sigma$ — алгебра измеримых подмножеств области определения, а $\mathcal B$ — алгебра борелевских (или, что то же самое, бэровских) подмножеств $\mathbb R$; или когда прообраз относительно $f$ любого открытого/замкнутого финального/начального луча измерим; или когда $f$ является пределом почти всюду последовательности измеримых ступенчатых функций (с произвольными измеримыми кусочками — не обязательно конечной меры) и др.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полнату в L2
Сообщение31.12.2009, 15:16 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
А в теории меры случайно нет какого-нибудь подобия "теоремы о графике". Типа функция $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ измерима тогда и только тогда, когда надграфик $\{ (\bar{x},y) : y \geqslant f(\bar{x}) \}$ измерим как подмножество $\mathbb{R}^{n+1}$?

Вообще с измеримостью как-то всё довольно сложно в голове укладывается... Есть "терверовское" понятие: функция измерима, если прообраз любого измеримого множества измерим. Есть "матановское": функция измерима, если может быть приближена по интегральной норме сколь угодно точно простейшими функциями. Я так понимаю, они эквивалентны. Но "терверовское" определение предполагает, что измеримые множества уже введены. А множество измеримо, если его характеристическая функция измерима. Получается порочный круг... То есть всё-таки "матановское" определение является основным, остальное --- критерии. Но всё же для широкой публики "терверовское" более распространено. Короче, без поллитры не разобраться :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полнату в L2
Сообщение31.12.2009, 15:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Профессор Снэйп в сообщении #276717 писал(а):
Есть "терверовское" понятие: функция измерима, если прообраз любого измеримого множества измерим.

Это вовсе не терверовское, это просто общепринятое.

Профессор Снэйп в сообщении #276717 писал(а):
А множество измеримо, если его характеристическая функция измерима. Получается порочный круг...

Не получается. Характеристическая -- ну о-о-о-чень специфицская функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полнату в L2
Сообщение01.01.2010, 09:53 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Профессор Снэйп в сообщении #276717 писал(а):
А в теории меры случайно нет какого-нибудь подобия "теоремы о графике". Типа функция $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ измерима тогда и только тогда, когда надграфик $\{ (\bar{x},y) : y \geqslant f(\bar{x}) \}$ измерим как подмножество $\mathbb{R}^{n+1}$?
Да, вроде, есть такое. А еще измеримость функции $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ равносильна измеримости графика $f$ в $\mathbb R^n\times\mathbb R$, причем это верно как для борелевской, так и для лебеговской $\sigma$-алгебры на $\mathbb R^n$ (см. Graphs of measurable functions).

Профессор Снэйп в сообщении #276717 писал(а):
Есть "матановское": функция измерима, если может быть приближена по интегральной норме сколь угодно точно простейшими функциями. Я так понимаю, они эквивалентны.
Типа того, только не по норме, а, например, относительно сходимости почти всюду (так как измеримая функция может не быть интегрируемой), да и не любые «простейшие» функции тут проканают (например, борелевские ступенчатые — проканают, а интегрируемые по Риману непрерывные — не всегда). А еще ограниченная измеримая функция приближается измеримыми ступенчатыми равномерно.

Профессор Снэйп в сообщении #276717 писал(а):
Но "терверовское" определение предполагает, что измеримые множества уже введены. А множество измеримо, если его характеристическая функция измерима. Получается порочный круг...
Есть много самодостаточных подходов к определению измеримости (я встречал штук шесть). В одном из них рассматривается пространство с мерой (например, обычная мера на множествах, составленных из кубиков), потом это пространство пополняется (например, по Каратеодори, через внешнюю меру) до лебеговского пространства с мерой, в результате возникают измеримые по Лебегу множества, а измеримость функции вводится, например, как измеримость относительно этой пополненной, лебеговской $\sigma$-алгебры. В другом подходе за основу берется пространство простых функций с предынтегралом (например, непрерывные функции с интегралом Римана), потом это пространство пополняется (например, через внешнюю «интегральную норму») до лебеговского пространства интегрируемых функций, с их помощью вводится понятие измеримой функции, а измеримым множеством называется множество, характеристическая функция которого измерима.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полнату в L2
Сообщение01.01.2010, 16:51 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
AGu в сообщении #276812 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #276717 писал(а):
А в теории меры случайно нет какого-нибудь подобия "теоремы о графике". Типа функция $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ измерима тогда и только тогда, когда надграфик $\{ (\bar{x},y) : y \geqslant f(\bar{x}) \}$ измерим как подмножество $\mathbb{R}^{n+1}$?
Да, вроде, есть такое. А еще измеримость функции $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ равносильна измеримости графика $f$ в $\mathbb R^n\times\mathbb R$, причем это верно как для борелевской, так и для лебеговской $\sigma$-алгебры на $\mathbb R^n$ (см. Graphs of measurable functions).

Если речь идёт именно о графике, а не о надграфике, то выглядит подозрительно. Берём неизмеримое $A \subseteq \mathbb{R}$. График характеристической функции множества $A$ является подмножеством множества $\mathbb{R} \times \{ 0,1 \}$ и, значит, имеет лебеговскую меру $0$.

-- Пт янв 01, 2010 20:00:25 --

AGu в сообщении #276812 писал(а):
...потом это пространство пополняется (например, по Каратеодори, через внешнюю меру) до лебеговского пространства с мерой, в результате возникают измеримые по Лебегу множества...

А это как, если не секрет? Берём исходную "простую" меру, например, из кубиков. Потом вводим внутреннюю меру $\mu_\ast(A)$ как супремум мер "кубических" множеств, являющихся подмножествами $A$. И внешнюю меру $\mu^\ast(A)$ как инфимум мер "кубических" множеств, являющихся надмножествами $A$. Ну и называем множество $A$ измеримым, если $\mu_\ast(A) = \mu^\ast(A)$, полагая $\mu(A) = \mu_\ast(A) = \mu^\ast(A)$. Так?

-- Пт янв 01, 2010 20:13:32 --

AGu в сообщении #276812 писал(а):
Типа того, только не по норме, а, например, относительно сходимости почти всюду (так как измеримая функция может не быть интегрируемой), да и не любые «простейшие» функции тут проканают (например, борелевские ступенчатые — проканают, а интегрируемые по Риману непрерывные — не всегда).

Почему не проканают? Вроде интегральная норма $\||f\||$ определяется для любой функции $f$, неважно, измеримой или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полнату в L2
Сообщение01.01.2010, 17:37 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Профессор Снэйп в сообщении #276854 писал(а):
AGu в сообщении #276812 писал(а):
А еще измеримость функции $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ равносильна измеримости графика $f$ в $\mathbb R^n\times\mathbb R$, причем это верно как для борелевской, так и для лебеговской $\sigma$-алгебры на $\mathbb R^n$ (см. Graphs of measurable functions).
Если речь идёт именно о графике, а не о надграфике, то выглядит подозрительно. Берём неизмеримое $A \subseteq \mathbb{R}$. График характеристической функции множества $A$ является подмножеством множества $\mathbb{R} \times \{ 0,1 \}$ и, значит, имеет лебеговскую меру $0$.
Дело в том, что в правом $\mathbb R$ берется борелевская алгебра, а не лебеговская. Точнее, измеримость $f:\mathbb R\to\mathbb R$ относительно пополнения $\mathcal A$ борелевской $\sigma$-алгебры $\mathcal B$ (по борелевской мере) равносильна принадлежности графика $f$ алгебре $\mathcal A\times\mathcal B$. (Собственно, в Graphs of measurable functions так написано. Сам я об этом оттуда и узнал.)

Профессор Снэйп в сообщении #276854 писал(а):
AGu в сообщении #276812 писал(а):
...потом это пространство пополняется (например, по Каратеодори, через внешнюю меру) до лебеговского пространства с мерой, в результате возникают измеримые по Лебегу множества...
А это как, если не секрет? Берём исходную "простую" меру, например, из кубиков. Потом вводим внутреннюю меру $\mu_\ast(A)$ как супремум мер "кубических" множеств, являющихся подмножествами $A$. И внешнюю меру $\mu^\ast(A)$ как инфимум мер "кубических" множеств, являющихся надмножествами $A$. Ну и называем множество $A$ измеримым, если $\mu_\ast(A) = \mu^\ast(A)$, полагая $\mu(A) = \mu_\ast(A) = \mu^\ast(A)$. Так?
Можно и так (см. Inner measure). А классический подход Каратеодори такой (см. Outer measure): множество $A$ измеримо, если $\mu^*(X)=\mu^*(X\cap A)+\mu^*(X\backslash A)$ для любого подмножества $X$ рассматриваемого пространства. И получится та же самая измеримость, что и у Лебега.

Кстати, куча подходов к определению интегрируемости и измеримости есть в книге A.J.E.M.Janssen, P. van der Steen, Integration Theory, 1984. Я еще в универе ее читал, очень полезная книжка оказалась, до сих пор в ее конспект поглядываю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полнату в L2
Сообщение02.01.2010, 09:08 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Профессор Снэйп в сообщении #276854 писал(а):
AGu в сообщении #276812 писал(а):
не любые «простейшие» функции тут проканают [...]
Почему не проканают?
Дело в том, что область определения может быть «очень большой» — такой, что она не представляется в виде объединения счетного семейства измеримых подмножеств конечной меры (т.е., по-научному, не является пространством с $\sigma$-конечной мерой). В качестве примера рассмотрим теоретико-мерный подход к определению пространства $\ell^1(\mathbb R,\mathbb R)$ суммируемых функций $f:\mathbb R\to\mathbb R$ с интегралом $\sum_{x\in\mathbb R}f(x)$, определяемым как предел $\lim_{\alpha\in\mathcal P_{\rm fin}(\mathbb R)}\sum_{x\in\alpha}f(x)$ сети частичных сумм $\sum_{x\in\alpha}f(x)$, индексированной упорядоченным по включению множеством $\mathcal P_{\rm fin}(\mathbb R)$ конечных подмножеств $\mathbb R$. Здесь в качестве простых функций естественно рассматривать функции $s:\mathbb R\to\mathbb R$ с конечным носителем $\operatorname{supp}s=\{x\in\mathbb R:s(x)\ne0\}$ и предынтегралом $\sum_{x\in\operatorname{supp}s}s(x)$. Лебеговская мера тут будет определена на всех подмножествах $\mathbb R$ и будет считающей, т.е. мера конечного множества будет равна числу его элементов, а мера бесконечного множества — бесконечности. Множество меры нуль — единственное, пустое (и поэтому «почти всюду» равносильно «всюду»). Ясно, что тут мы имеем дело с «очень большой» областью определения. С другой стороны, хочется, чтобы, например, тождественная единица $1_{\mathbb R}$ была измеримой функцией, т.е. чтобы $\mathbb R$ было измеримым множеством (иначе за что боролись, спрашивается). Но $1_{\mathbb R}$ не может быть пределом почти всюду (а в нашем случае — всюду) последовательности простых функций, так как носители простых функций конечны, а носитель $1_{\mathbb R}$ несчетен. Стало быть, в случае «очень большой» области определения приходится выбирать — либо хитро определять измеримость (например, как интегрируемость срезок простыми функциями), либо определять измеримость как аппроксимируемость почти всюду не абы какими простыми функциями (а, например, ступенчатыми), либо смириться с тем, что такая симпатичная функция, как константа, окажется неизмеримой, а множество измеримых подмножеств не окажется алгеброй.

P.S. Может показаться, что я загнул, сказав, что интегрируемые непрерывные функции могут не проканать в качестве простых, но они действительно не проканают, если в качестве области определения взять не $\mathbb R^n$, а, например, топологическую сумму несчетного семейства копий $\mathbb R$. Это, разумеется, экзотика, но классический лебеговский подход приятен еще и своей общностью. В стандартных матановских курсах интегрирования часто закрывают глаза на «очень большие» области определения, и даже ограничиваются $\mathbb R^n$, но, например, функану этого уже маловато (хотя бы из-за пространств вида $\ell^p(X,\mathbb R)$). Приходится «переучивать».

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту в L2
Сообщение02.01.2010, 12:44 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Ну, пример с интегралом $\sum_{x \in \mathbb{R}} f(x)$ я как бы понял. Только не понял, почему константы надо непременно считать измеримыми функциями. Ну окажутся они неизмеримыми, ну и что?

Кстати, измеримыми будут в точности счётные подмножества $\mathbb{R}$, да? :)

Правда, я так и не понял, почему Вы писали

AGu в сообщении #276812 писал(а):
не любые «простейшие» функции тут проканают (например, борелевские ступенчатые — проканают, а интегрируемые по Риману непрерывные — не всегда).


Что здесь будет "борелевским ступенчатыми", а что "интегрируемыми по Риману непрерывными"? Если мы берём стандартное понимание обоих терминов, то первое "включается" во второе (с точностью до сглаживания на концах кусков). А если нестандартное... я просто не могу осилить, что здесь что :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту в L2
Сообщение02.01.2010, 13:01 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Профессор Снэйп в сообщении #277007 писал(а):
Кстати, измеримыми будут в точности счётные подмножества , да?
Измеримым будет всё.
AGu в сообщении #276989 писал(а):
Стало быть, в случае «очень большой» области определения приходится выбирать — либо хитро определять измеримость (например, как интегрируемость срезок простыми функциями), либо определять измеримость как аппроксимируемость почти всюду не абы какими простыми функциями (а, например, ступенчатыми), либо смириться с тем, что такая симпатичная функция, как константа, окажется неизмеримой, а множество измеримых подмножеств не окажется алгеброй.
А нельзя ли просто объявить измеримыми все функции, у которых прообраз борелевского множества измерим (то есть в этом случае это будут просто все функции)? Вроде так всех и учат :roll: Ну дальше интегрируемость неотрицательных функций - как подпираемых снизу простыми, итп.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту в L2
Сообщение02.01.2010, 13:25 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Профессор Снэйп в сообщении #277007 писал(а):
Ну, пример с интегралом $\sum_{x \in \mathbb{R}} f(x)$ я как бы понял. Только не понял, почему константы надо непременно считать измеримыми функциями. Ну окажутся они неизмеримыми, ну и что?
Просто неприятно (и необычно, нетрадиционно), когда после всех наших стараний множество измеримых множеств является лишь кольцом, а не алгеброй. Да и вообще, чем измеримых множеств и функций больше, тем лучше — в том смысле, что больше возможностей и шире область приложений. И если можно определить измеримость так, чтобы константы были измеримыми, то это стоит сделать. Разумеется, нельзя просто взять, да обозвать, к примеру, все функции измеримыми, так как тогда мы потеряем кучу классических фактов. Поэтому измеримость стоит вводить так, чтобы факты сохранились, а измеримых множеств было побольше. Дело вкуса и традиций, разумеется. Можно вообще исходную меру не продолжать и, если этого достаточно, работать с кубиками или борелевскими множествами.

Профессор Снэйп в сообщении #277007 писал(а):
Кстати, измеримыми будут в точности счётные подмножества $\mathbb{R}$, да? :)
Да — если считать «измеримыми функциями» пределы почти всюду последовательностей простых, а «измеримыми множествами» считать те, чьи характеристические функции «измеримы». Кстати, «измеримыми функциями» в этом случае будут все функции со счетными носителями. Но это все нетрадиционно и неудобно. Искусственное ограничение какое-то получается.

Профессор Снэйп в сообщении #277007 писал(а):
Правда, я так и не понял, почему Вы писали
AGu в сообщении #276812 писал(а):
не любые «простейшие» функции тут проканают (например, борелевские ступенчатые — проканают, а интегрируемые по Риману непрерывные — не всегда).
Что здесь будет "борелевским ступенчатыми", а что "интегрируемыми по Риману непрерывными"? Если мы берём стандартное понимание обоих терминов, то первое "включается" во второе (с точностью до сглаживания на концах кусков). А если нестандартное... я просто не могу осилить, что здесь что :(
Вы сейчас про $\mathbb R^n$ ? Как концы ни сглаживай, первое не включается во второе, так как борелевская ступенчатая функция не обязана быть интегрируемой (для примера рассмотрите ненулевую константу). Впрочем, на $\mathbb R^n$ последовательности интегрируемых функций аппроксимируют (по сходимости почти всюду) любые измеримые, так как $\mathbb R^n$ имеет $\sigma$-конечную меру. Но этого случая, как я уже намекал, не всем хватает.

AD в сообщении #277011 писал(а):
А нельзя ли просто объявить измеримыми все функции, у которых прообраз борелевского множества измерим (то есть в этом случае это будут просто все функции)? Вроде так всех и учат :roll: Ну дальше интегрируемость неотрицательных функций - как подпираемых снизу простыми, итп.
Разумеется, можно и так. Я на это намекал, когда писал про измеримость относительно $(\Sigma,\mathcal B)$. Это тоже один из классических подходов. Их куча.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту в L2
Сообщение02.01.2010, 14:10 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
AGu в сообщении #277015 писал(а):
Как концы ни сглаживай, первое не включается во второе, так как борелевская ступенчатая функция не обязана быть интегрируемой (для примера рассмотрите ненулевую константу).

А... У нас тут непонимание в терминах. Я думал, что функция $f$ называется "борелевской ступенчатой", если существует конечное множество кубиков $X_1, \ldots, X_k$, такое что $X_i \cap X_j = \varnothing$ при $i \neq j$, $f(X_i) = \mathrm{Const}$ при всех $i$ и $f(\mathbb{R} \setminus (X_1 \cup \ldots \cup X_k)) = 0$. Кубиком называется декартово произведение множеств вида $(a,b)$, $[a,b)$, $(a,b]$ и $[a,b]$ для $a,b \in \mathbb{R}$.

-- Сб янв 02, 2010 17:14:22 --

AD в сообщении #277011 писал(а):
Измеримым будет всё.

Почему? Вот AGu пишет

AGu в сообщении #277015 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #277007 писал(а):
Кстати, измеримыми будут в точности счётные подмножества $\mathbb{R}$, да? :)
Да — если считать «измеримыми функциями» пределы почти всюду последовательностей простых, а «измеримыми множествами» считать те, чьи характеристические функции «измеримы». Кстати, «измеримыми функциями» в этом случае будут все функции со счетными носителями.

Я это, собственно, и имел в виду. А Вы что имели в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту в L2
Сообщение02.01.2010, 14:22 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Профессор Снэйп в сообщении #277019 писал(а):
У нас тут непонимание в терминах. Я думал, что функция $f$ называется "борелевской ступенчатой", если [...]
Ну, стало быть, теперь все прояснилось. Я, в свою очередь, считал, что борелевская ступенчатая функция — это функция, которая является борелевской и ступенчатой :-), или, что то же самое, представима в виде $\sum_{i=1}^n\lambda_i1_{B_i}$, где $\lambda_i$ — числа, а $B_i$ — борелевские множества (т.е. элементы борелевской $\sigma$-алгебры).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group