Доказать полноту в L2

[RIP]

Кстати, а как у Вас определялись кусочно-постонные функции?

(Оффтоп)

Кстати, у нас в курсе матанализа был интеграл Мак-Шейна для функций, определённых на отрезке, который определялся как предел интегральных сумм Римана по некоторой базе (вообще без всякой меры). К чему я это вспомнил? Оказывается, что функция $f\colon[a;b]\to\mathbb R$ интегрируема по Мак-Шейну тогда и только тогда, когда она интегрируема по Лебегу относительно классической меры Лебега, и в этом случае интегралы равны. Таким образом, "стандартный" интеграл Лебега можно определить в терминах интегральных сумм Римана, вообще без использования каких-либо мер!

[Профессор Снэйп]

RIP в сообщении #276648 писал(а):

Кстати, а как у Вас определялись кусочно-постонные функции?

$f$ называется кусочно-постоянной, если существует конечная дизъюнктная система $X_1, \ldots, X_k$ измеримых множеств, каждое конечной меры, такая что

$$f(x) = \begin{cases} y_i, & x \in X_i,\, 1 \leqslant i \leqslant k \\ 0, &\text{иначе} \end{cases} $$

Вот эти множества $X_1, \ldots, X_k$ --- в случае интегрирования на $\mathbb{R}^n$ это "кубики" (декартовы произведения отрезков), а вообще --- множества, измеримые в какой-то самой исходной мере. Которая должна быть аддитивна, но не обязана быть счётно-аддитивной (счётная аддитивность появляется потом, когда эту меру расширяем при помощи интеграла Лебега).

Вроде так было. Хотя боюсь наврать, ибо было давно.

[RIP]

Я так и думал. Тогда данное Вами определение измеримости очень странное: оно больше похоже на определение интегрируемости. Для измеримости больше подошла бы сходимость по мере, а не в среднем. Лень думать.

[AGu]

RIP в сообщении #276652 писал(а):

Тогда данное Вами определение измеримости очень странное: оно больше похоже на определение интегрируемости.

Ага, это интегрируемость. В рамках одного из классических подходов под измеримой функцией понимают такую функцию $f$, что ее срезки $(f\lor s)\land(-s)$ положительными простыми функциями $s$ интегрируемы. Что считать простыми функциями — дело вкуса. Это могут быть упомянутые «кусочно-константные» функции или непрерывные функции с компактным носителем (если область определения — что-то в $\mathbb R^n$) и пр. Есть и другие критерии измеримости, которые можно использовать в качестве определения. Например, функция $f$ измерима тогда и только тогда, когда $f$ измерима относительно $(\Sigma,\mathcal B)$, где $\Sigma$ — алгебра измеримых подмножеств области определения, а $\mathcal B$ — алгебра борелевских (или, что то же самое, бэровских) подмножеств $\mathbb R$; или когда прообраз относительно $f$ любого открытого/замкнутого финального/начального луча измерим; или когда $f$ является пределом почти всюду последовательности измеримых ступенчатых функций (с произвольными измеримыми кусочками — не обязательно конечной меры) и др.

[Профессор Снэйп]

А в теории меры случайно нет какого-нибудь подобия "теоремы о графике". Типа функция $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ измерима тогда и только тогда, когда надграфик $\{ (\bar{x},y) : y \geqslant f(\bar{x}) \}$ измерим как подмножество $\mathbb{R}^{n+1}$?

Вообще с измеримостью как-то всё довольно сложно в голове укладывается... Есть "терверовское" понятие: функция измерима, если прообраз любого измеримого множества измерим. Есть "матановское": функция измерима, если может быть приближена по интегральной норме сколь угодно точно простейшими функциями. Я так понимаю, они эквивалентны. Но "терверовское" определение предполагает, что измеримые множества уже введены. А множество измеримо, если его характеристическая функция измерима. Получается порочный круг... То есть всё-таки "матановское" определение является основным, остальное --- критерии. Но всё же для широкой публики "терверовское" более распространено. Короче, без поллитры не разобраться

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #276717 писал(а):

Есть "терверовское" понятие: функция измерима, если прообраз любого измеримого множества измерим.

Это вовсе не терверовское, это просто общепринятое.

Профессор Снэйп в сообщении #276717 писал(а):

А множество измеримо, если его характеристическая функция измерима. Получается порочный круг...

Не получается. Характеристическая -- ну о-о-о-чень специфицская функция.

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #276717 писал(а):

А в теории меры случайно нет какого-нибудь подобия "теоремы о графике". Типа функция $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ измерима тогда и только тогда, когда надграфик $\{ (\bar{x},y) : y \geqslant f(\bar{x}) \}$ измерим как подмножество $\mathbb{R}^{n+1}$?

Да, вроде, есть такое. А еще измеримость функции $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ равносильна измеримости графика $f$ в $\mathbb R^n\times\mathbb R$, причем это верно как для борелевской, так и для лебеговской $\sigma$-алгебры на $\mathbb R^n$ (см. Graphs of measurable functions).

Профессор Снэйп в сообщении #276717 писал(а):

Есть "матановское": функция измерима, если может быть приближена по интегральной норме сколь угодно точно простейшими функциями. Я так понимаю, они эквивалентны.

Типа того, только не по норме, а, например, относительно сходимости почти всюду (так как измеримая функция может не быть интегрируемой), да и не любые «простейшие» функции тут проканают (например, борелевские ступенчатые — проканают, а интегрируемые по Риману непрерывные — не всегда). А еще ограниченная измеримая функция приближается измеримыми ступенчатыми равномерно.

Профессор Снэйп в сообщении #276717 писал(а):

Но "терверовское" определение предполагает, что измеримые множества уже введены. А множество измеримо, если его характеристическая функция измерима. Получается порочный круг...

Есть много самодостаточных подходов к определению измеримости (я встречал штук шесть). В одном из них рассматривается пространство с мерой (например, обычная мера на множествах, составленных из кубиков), потом это пространство пополняется (например, по Каратеодори, через внешнюю меру) до лебеговского пространства с мерой, в результате возникают измеримые по Лебегу множества, а измеримость функции вводится, например, как измеримость относительно этой пополненной, лебеговской $\sigma$-алгебры. В другом подходе за основу берется пространство простых функций с предынтегралом (например, непрерывные функции с интегралом Римана), потом это пространство пополняется (например, через внешнюю «интегральную норму») до лебеговского пространства интегрируемых функций, с их помощью вводится понятие измеримой функции, а измеримым множеством называется множество, характеристическая функция которого измерима.

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #276812 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #276717 писал(а):

А в теории меры случайно нет какого-нибудь подобия "теоремы о графике". Типа функция $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ измерима тогда и только тогда, когда надграфик $\{ (\bar{x},y) : y \geqslant f(\bar{x}) \}$ измерим как подмножество $\mathbb{R}^{n+1}$?

Да, вроде, есть такое. А еще измеримость функции $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ равносильна измеримости графика $f$ в $\mathbb R^n\times\mathbb R$, причем это верно как для борелевской, так и для лебеговской $\sigma$-алгебры на $\mathbb R^n$ (см. Graphs of measurable functions).

Если речь идёт именно о графике, а не о надграфике, то выглядит подозрительно. Берём неизмеримое $A \subseteq \mathbb{R}$. График характеристической функции множества $A$ является подмножеством множества $\mathbb{R} \times \{ 0,1 \}$ и, значит, имеет лебеговскую меру $0$.

-- Пт янв 01, 2010 20:00:25 --

AGu в сообщении #276812 писал(а):

...потом это пространство пополняется (например, по Каратеодори, через внешнюю меру) до лебеговского пространства с мерой, в результате возникают измеримые по Лебегу множества...

А это как, если не секрет? Берём исходную "простую" меру, например, из кубиков. Потом вводим внутреннюю меру $\mu_\ast(A)$ как супремум мер "кубических" множеств, являющихся подмножествами $A$. И внешнюю меру $\mu^\ast(A)$ как инфимум мер "кубических" множеств, являющихся надмножествами $A$. Ну и называем множество $A$ измеримым, если $\mu_\ast(A) = \mu^\ast(A)$, полагая $\mu(A) = \mu_\ast(A) = \mu^\ast(A)$. Так?

-- Пт янв 01, 2010 20:13:32 --

AGu в сообщении #276812 писал(а):

Типа того, только не по норме, а, например, относительно сходимости почти всюду (так как измеримая функция может не быть интегрируемой), да и не любые «простейшие» функции тут проканают (например, борелевские ступенчатые — проканают, а интегрируемые по Риману непрерывные — не всегда).

Почему не проканают? Вроде интегральная норма $\||f\||$ определяется для любой функции $f$, неважно, измеримой или нет.

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #276854 писал(а):

AGu в сообщении #276812 писал(а):

А еще измеримость функции $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ равносильна измеримости графика $f$ в $\mathbb R^n\times\mathbb R$, причем это верно как для борелевской, так и для лебеговской $\sigma$-алгебры на $\mathbb R^n$ (см. Graphs of measurable functions).

Если речь идёт именно о графике, а не о надграфике, то выглядит подозрительно. Берём неизмеримое $A \subseteq \mathbb{R}$. График характеристической функции множества $A$ является подмножеством множества $\mathbb{R} \times \{ 0,1 \}$ и, значит, имеет лебеговскую меру $0$.

Дело в том, что в правом $\mathbb R$ берется борелевская алгебра, а не лебеговская. Точнее, измеримость $f:\mathbb R\to\mathbb R$ относительно пополнения $\mathcal A$ борелевской $\sigma$-алгебры $\mathcal B$ (по борелевской мере) равносильна принадлежности графика $f$ алгебре $\mathcal A\times\mathcal B$. (Собственно, в Graphs of measurable functions так написано. Сам я об этом оттуда и узнал.)

Профессор Снэйп в сообщении #276854 писал(а):

AGu в сообщении #276812 писал(а):

...потом это пространство пополняется (например, по Каратеодори, через внешнюю меру) до лебеговского пространства с мерой, в результате возникают измеримые по Лебегу множества...

А это как, если не секрет? Берём исходную "простую" меру, например, из кубиков. Потом вводим внутреннюю меру $\mu_\ast(A)$ как супремум мер "кубических" множеств, являющихся подмножествами $A$. И внешнюю меру $\mu^\ast(A)$ как инфимум мер "кубических" множеств, являющихся надмножествами $A$. Ну и называем множество $A$ измеримым, если $\mu_\ast(A) = \mu^\ast(A)$, полагая $\mu(A) = \mu_\ast(A) = \mu^\ast(A)$. Так?

Можно и так (см. Inner measure). А классический подход Каратеодори такой (см. Outer measure): множество $A$ измеримо, если $\mu^*(X)=\mu^*(X\cap A)+\mu^*(X\backslash A)$ для любого подмножества $X$ рассматриваемого пространства. И получится та же самая измеримость, что и у Лебега.

Кстати, куча подходов к определению интегрируемости и измеримости есть в книге A.J.E.M.Janssen, P. van der Steen, Integration Theory, 1984. Я еще в универе ее читал, очень полезная книжка оказалась, до сих пор в ее конспект поглядываю.

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #276854 писал(а):

AGu в сообщении #276812 писал(а):

не любые «простейшие» функции тут проканают [...]

Почему не проканают?

Дело в том, что область определения может быть «очень большой» — такой, что она не представляется в виде объединения счетного семейства измеримых подмножеств конечной меры (т.е., по-научному, не является пространством с $\sigma$-конечной мерой). В качестве примера рассмотрим теоретико-мерный подход к определению пространства $\ell^1(\mathbb R,\mathbb R)$ суммируемых функций $f:\mathbb R\to\mathbb R$ с интегралом $\sum_{x\in\mathbb R}f(x)$, определяемым как предел $\lim_{\alpha\in\mathcal P_{\rm fin}(\mathbb R)}\sum_{x\in\alpha}f(x)$ сети частичных сумм $\sum_{x\in\alpha}f(x)$, индексированной упорядоченным по включению множеством $\mathcal P_{\rm fin}(\mathbb R)$ конечных подмножеств $\mathbb R$. Здесь в качестве простых функций естественно рассматривать функции $s:\mathbb R\to\mathbb R$ с конечным носителем $\operatorname{supp}s=\{x\in\mathbb R:s(x)\ne0\}$ и предынтегралом $\sum_{x\in\operatorname{supp}s}s(x)$. Лебеговская мера тут будет определена на всех подмножествах $\mathbb R$ и будет считающей, т.е. мера конечного множества будет равна числу его элементов, а мера бесконечного множества — бесконечности. Множество меры нуль — единственное, пустое (и поэтому «почти всюду» равносильно «всюду»). Ясно, что тут мы имеем дело с «очень большой» областью определения. С другой стороны, хочется, чтобы, например, тождественная единица $1_{\mathbb R}$ была измеримой функцией, т.е. чтобы $\mathbb R$ было измеримым множеством (иначе за что боролись, спрашивается). Но $1_{\mathbb R}$ не может быть пределом почти всюду (а в нашем случае — всюду) последовательности простых функций, так как носители простых функций конечны, а носитель $1_{\mathbb R}$ несчетен. Стало быть, в случае «очень большой» области определения приходится выбирать — либо хитро определять измеримость (например, как интегрируемость срезок простыми функциями), либо определять измеримость как аппроксимируемость почти всюду не абы какими простыми функциями (а, например, ступенчатыми), либо смириться с тем, что такая симпатичная функция, как константа, окажется неизмеримой, а множество измеримых подмножеств не окажется алгеброй.

P.S. Может показаться, что я загнул, сказав, что интегрируемые непрерывные функции могут не проканать в качестве простых, но они действительно не проканают, если в качестве области определения взять не $\mathbb R^n$, а, например, топологическую сумму несчетного семейства копий $\mathbb R$. Это, разумеется, экзотика, но классический лебеговский подход приятен еще и своей общностью. В стандартных матановских курсах интегрирования часто закрывают глаза на «очень большие» области определения, и даже ограничиваются $\mathbb R^n$, но, например, функану этого уже маловато (хотя бы из-за пространств вида $\ell^p(X,\mathbb R)$). Приходится «переучивать».

[Профессор Снэйп]

Ну, пример с интегралом $\sum_{x \in \mathbb{R}} f(x)$ я как бы понял. Только не понял, почему константы надо непременно считать измеримыми функциями. Ну окажутся они неизмеримыми, ну и что?

Кстати, измеримыми будут в точности счётные подмножества $\mathbb{R}$, да?

Правда, я так и не понял, почему Вы писали

AGu в сообщении #276812 писал(а):

не любые «простейшие» функции тут проканают (например, борелевские ступенчатые — проканают, а интегрируемые по Риману непрерывные — не всегда).

Что здесь будет "борелевским ступенчатыми", а что "интегрируемыми по Риману непрерывными"? Если мы берём стандартное понимание обоих терминов, то первое "включается" во второе (с точностью до сглаживания на концах кусков). А если нестандартное... я просто не могу осилить, что здесь что

[AD]

Профессор Снэйп в сообщении #277007 писал(а):

Кстати, измеримыми будут в точности счётные подмножества , да?

Измеримым будет всё.

AGu в сообщении #276989 писал(а):

Стало быть, в случае «очень большой» области определения приходится выбирать — либо хитро определять измеримость (например, как интегрируемость срезок простыми функциями), либо определять измеримость как аппроксимируемость почти всюду не абы какими простыми функциями (а, например, ступенчатыми), либо смириться с тем, что такая симпатичная функция, как константа, окажется неизмеримой, а множество измеримых подмножеств не окажется алгеброй.

А нельзя ли просто объявить измеримыми все функции, у которых прообраз борелевского множества измерим (то есть в этом случае это будут просто все функции)? Вроде так всех и учат Ну дальше интегрируемость неотрицательных функций - как подпираемых снизу простыми, итп.

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #277007 писал(а):

Ну, пример с интегралом $\sum_{x \in \mathbb{R}} f(x)$ я как бы понял. Только не понял, почему константы надо непременно считать измеримыми функциями. Ну окажутся они неизмеримыми, ну и что?

Просто неприятно (и необычно, нетрадиционно), когда после всех наших стараний множество измеримых множеств является лишь кольцом, а не алгеброй. Да и вообще, чем измеримых множеств и функций больше, тем лучше — в том смысле, что больше возможностей и шире область приложений. И если можно определить измеримость так, чтобы константы были измеримыми, то это стоит сделать. Разумеется, нельзя просто взять, да обозвать, к примеру, все функции измеримыми, так как тогда мы потеряем кучу классических фактов. Поэтому измеримость стоит вводить так, чтобы факты сохранились, а измеримых множеств было побольше. Дело вкуса и традиций, разумеется. Можно вообще исходную меру не продолжать и, если этого достаточно, работать с кубиками или борелевскими множествами.

Профессор Снэйп в сообщении #277007 писал(а):

Кстати, измеримыми будут в точности счётные подмножества $\mathbb{R}$, да?

Да — если считать «измеримыми функциями» пределы почти всюду последовательностей простых, а «измеримыми множествами» считать те, чьи характеристические функции «измеримы». Кстати, «измеримыми функциями» в этом случае будут все функции со счетными носителями. Но это все нетрадиционно и неудобно. Искусственное ограничение какое-то получается.

Профессор Снэйп в сообщении #277007 писал(а):

Правда, я так и не понял, почему Вы писали

AGu в сообщении #276812 писал(а):

не любые «простейшие» функции тут проканают (например, борелевские ступенчатые — проканают, а интегрируемые по Риману непрерывные — не всегда).

Что здесь будет "борелевским ступенчатыми", а что "интегрируемыми по Риману непрерывными"? Если мы берём стандартное понимание обоих терминов, то первое "включается" во второе (с точностью до сглаживания на концах кусков). А если нестандартное... я просто не могу осилить, что здесь что

Вы сейчас про $\mathbb R^n$ ? Как концы ни сглаживай, первое не включается во второе, так как борелевская ступенчатая функция не обязана быть интегрируемой (для примера рассмотрите ненулевую константу). Впрочем, на $\mathbb R^n$ последовательности интегрируемых функций аппроксимируют (по сходимости почти всюду) любые измеримые, так как $\mathbb R^n$ имеет $\sigma$-конечную меру. Но этого случая, как я уже намекал, не всем хватает.

AD в сообщении #277011 писал(а):

А нельзя ли просто объявить измеримыми все функции, у которых прообраз борелевского множества измерим (то есть в этом случае это будут просто все функции)? Вроде так всех и учат Ну дальше интегрируемость неотрицательных функций - как подпираемых снизу простыми, итп.

Разумеется, можно и так. Я на это намекал, когда писал про измеримость относительно $(\Sigma,\mathcal B)$. Это тоже один из классических подходов. Их куча.

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #277015 писал(а):

Как концы ни сглаживай, первое не включается во второе, так как борелевская ступенчатая функция не обязана быть интегрируемой (для примера рассмотрите ненулевую константу).

А... У нас тут непонимание в терминах. Я думал, что функция $f$ называется "борелевской ступенчатой", если существует конечное множество кубиков $X_1, \ldots, X_k$, такое что $X_i \cap X_j = \varnothing$ при $i \neq j$, $f(X_i) = \mathrm{Const}$ при всех $i$ и $f(\mathbb{R} \setminus (X_1 \cup \ldots \cup X_k)) = 0$. Кубиком называется декартово произведение множеств вида $(a,b)$, $[a,b)$, $(a,b]$ и $[a,b]$ для $a,b \in \mathbb{R}$.

-- Сб янв 02, 2010 17:14:22 --

AD в сообщении #277011 писал(а):

Измеримым будет всё.

Почему? Вот AGu пишет

AGu в сообщении #277015 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #277007 писал(а):

Кстати, измеримыми будут в точности счётные подмножества $\mathbb{R}$, да?

Да — если считать «измеримыми функциями» пределы почти всюду последовательностей простых, а «измеримыми множествами» считать те, чьи характеристические функции «измеримы». Кстати, «измеримыми функциями» в этом случае будут все функции со счетными носителями.

Я это, собственно, и имел в виду. А Вы что имели в виду?

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #277019 писал(а):

У нас тут непонимание в терминах. Я думал, что функция $f$ называется "борелевской ступенчатой", если [...]

Ну, стало быть, теперь все прояснилось. Я, в свою очередь, считал, что борелевская ступенчатая функция — это функция, которая является борелевской и ступенчатой , или, что то же самое, представима в виде $\sum_{i=1}^n\lambda_i1_{B_i}$, где $\lambda_i$ — числа, а $B_i$ — борелевские множества (т.е. элементы борелевской $\sigma$-алгебры).