размерность пространства последовательностей

[RIP]

Пусть $I$ --- произвольное бесконечное множество. Тогда поля рациональных функций $\mathbb Q(t_\nu\mid\nu\in I)$ и $\mathbb Q(i)(t_\nu\mid\nu\in I)$ (где $t_\nu$ --- независимые переменные) имеют мощность $|I|$ (вроде бы) и не изоморфны (в одном уравнение $x^2+1=0$ имеет решение, а в другом --- нет). Для континуального примера можно взять $\mathbb R$ и $\mathbb C$. А ещё можно было просто поля разной характеристики взять. Почему самые простые ответы приходят в голову с опозданием?

[Ираклий]

RIP в сообщении #275026 писал(а):

Для континуального примера можно взять $\mathbb R$ и $\mathbb C$. А ещё можно было просто поля разной характеристики взять. Почему самые простые ответы приходят в голову с опозданием?

Да, действительно! Что-то я ночью плохо соображал, сейчас утром тоже подумал про $\mathbb R$ и $\mathbb C$. Что касается полей конечной характеристики, то как их построить? Бесконечные в смысле.

А размерность может меняться при смене поля: $\mathbb C$ двхмерно над $\mathbb R$, но одномерно над собой. То есть если положить $A = \{0,1\}, F=\mathbb R$ и на $F$ рассмотреть две структуры поля - вещественную и комплексную - то получится как раз пример нужного вида. Правда, с конечным $A$.

[RIP]

Ираклий в сообщении #275118 писал(а):

Что касается полей конечной характеристики, то как их построить? Бесконечные в смысле.

Через присоединение неизвестных (то есть те же поля рациональных функций). Какие-нибудь естественные бесконечные поля положительной характеристики в голову не приходят. Замечание про разные характеристики я добавил больше для себя: сначала долго думал, как можно доказать неизоморфность полей.

Ираклий в сообщении #275118 писал(а):

А размерность может меняться при смене поля: $\mathbb C$ двхмерно над $\mathbb R$, но одномерно над собой. То есть если положить $A = \{0,1\}, F=\mathbb R$ и на $F$ рассмотреть две структуры поля - вещественную и комплексную - то получится как раз пример нужного вида. Правда, с конечным $A$.

Не получится. Если $A\ne\varnothing$ конечно, то $\dim_FF^A=|A|$ для любого поля $F$.

[Ираклий]

RIP в сообщении #275163 писал(а):

Не получится. Если $A\ne\varnothing$ конечно, то $\dim_FF^A=|A|$ для любого поля $F$.

Я имел в виду, что $\dim_{\mathbb C}\mathbb C=1, \dim_{\mathbb R}\mathbb C=2$. Но это, действительно, не совсем то, о чем Вы говорили.

Вот, кстати, еще одно доказательство того, что $\dim_{\mathbb C} c_\infty=\mathfrak{c}$, которое предложил один мой друг. Рассмотрим множество последовательностей вида $(a, a^2, a^3, ...)$ для всех ненулевых $a \in\mathbb R$. Их континуум и они линейно независимы в силу отличия от нуля определителя Вандермонда. Вот и всё!

[RIP]

Мда, как всё просто. Этот же пример даёт $\dim_FF^{\mathbb N}\ge|F|$. Кстати, а верно ли, что при $|F|\ge\mathfrak c$ выполнено $|F^{\mathbb N}|=|F|$?

-- Пт 25.12.2009 22:15:50 --

Тьфу ты, ведь это доказывает, что $\dim_FF^A=|F|^{|A|}$ (для бесконечного $A$).

[Ираклий]

RIP в сообщении #275200 писал(а):

Кстати, а верно ли, что при $|F|\ge\mathfrak c$ выполнено $|F^{\mathbb N}|=|F|$?

Если принять GCH, то ответ следующий:

$$|F^{\mathbb N}|=\begin{cases} |F|,&\text{если $\mathrm{cf}(|F|)>|\mathbb N|$;}\\ |F|^+,&\text{если $\mathrm{cf}(|F|)=|\mathbb N|$.} \end{cases}$$

Без GCH можно доказать следующее:
(i) Если существует кардинал $\mu<|F|$, такой, что $\mu^{|\mathrm N|} \ge |F|$, то $|F^{\mathbb N}|=\mu^{|\mathrm N|}$.
(ii) В противном случае,

$$|F^{\mathbb N}|=\begin{cases} |F|,&\text{если $\mathrm{cf}(|F|)>|\mathbb N|$;}\\ |F|^{\mathrm{cf}(|F|)},&\text{если $\mathrm{cf}(|F|)=|\mathbb N|$. Хмм... Что-то меня стала смущать эта строчка. Она верна, но имеет вид $a=a$.}\\ &\text{Короче, в этом случае ничего толком доказать нельзя, видимо, так надо понимать.} \end{cases}$$

Взято мною из книги Йеха "Set Theory". Все эти утверждения доказываются не очень сложно. Но понять их интуитивно довольно затруднительно..

-- Пт дек 25, 2009 23:41:15 --

RIP в сообщении #275200 писал(а):

Тьфу ты, ведь это доказывает, что $\dim_FF^A=|F|^{|A|}$ (для бесконечного $A$).

Гм.. Сорри, не понял, что "это"? Как доказывает? Туповат я

[RIP]

Если $|F^A|>|F|$, то мы уже знаем, что размерность равна $|F^A|$. А если $|F^A|=|F|$, то размерность $\ge|F|=|F^A|$.

[Ираклий]

Теперь понял. Получается, что мы полностью разобрались с предложенным Вами вопросом про размерность $F^A$! И опасения неразрешимости проблемы в ZFC не оправдались.

[Профессор Снэйп]

Ираклий в сообщении #274891 писал(а):

Рассматривается векторное пространство $c_{\infty}$ произвольных последовательностей комплексных чисел над полем $\mathbb C$. Почему его размерность континуум?

RIP уже дал довольно красивое решение.

Могу предложить ещё такое: существует континуальное семейство подмножеств натурального ряда, пересечение любых двух элементов которого конечно. Ну и рассмотреть множество характеристических функций элементов этого семейства.

-- Сб дек 26, 2009 04:59:54 --

(Оффтоп)

Ираклий в сообщении #274967 писал(а):

Как следует из моей подписи и Теоремы Снейпа ( )

Простите, а что имеется в виду? Я если и писал что-то на эту тему, то, как всегда, всё забыл

[Ираклий]

Профессор Снэйп в сообщении #275292 писал(а):

Простите, а что имеется в виду? Я если и писал что-то на эту тему, то, как всегда, всё забыл

Речь идет вот об этой теореме. Ссылку на нее мне дал RIP в своем первом посте в этой теме.

Профессор Снэйп в сообщении #275292 писал(а):

Ну и рассмотреть множество характеристических функций элементов этого семейства.

Такой набор последовательностей может оказаться линейно зависимым. Вот если все множества в семействе будут бесконечны, то да, все хорошо будет. Впрочем, понятно, что если такое семейство есть, но все конечные можно просто выбросить, оно все равно останется континуальным.

Профессор Снэйп в сообщении #275292 писал(а):

существует континуальное семейство подмножеств натурального ряда, пересечение любых двух элементов которого конечно

Гмм... почему?

[RIP]

Ираклий в сообщении #275302 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #275292 писал(а):

существует континуальное семейство подмножеств натурального ряда, пересечение любых двух элементов которого конечно

Гмм... почему?

http://dxdy.ru/topic26899.html

[Профессор Снэйп]

Ираклий в сообщении #275302 писал(а):

Такой набор последовательностей может оказаться линейно зависимым. Вот если все множества в семействе будут бесконечны, то да, все хорошо будет. Впрочем, понятно, что если такое семейство есть, но все конечные можно просто выбросить, оно все равно останется континуальным.

Согласен, конечные надо выкинуть.