Большая задача по статистике!

[PAV]

Правильно. А чему тогда равно $P(N=x|U)$?

[Neytrall]

Чему?

$P(N=x|U)=\frac{(u^{\alpha-1} \frac{\exp\left(-u/\beta\right)}{\Gamma(\alpha)\,\beta^{\alpha}})^x}{x!}\ e^{-(u^{\alpha-1} \frac{\exp\left(-u/\beta\right)}{\Gamma(\alpha)\,\beta^{\alpha}})}$

[PAV]

Нет, неправильно. Тут проще надо быть. Вы нашли значение вероятности при условии того, что $U=t$. А что такое просто $P(N=x|U)$? Это означает всего лишь, что значение $U$ Вам же неизвестно, так что любому возможному значению $U$ ставится в соответствие вероятность, вычисляемая по формуле, которую Вы записывали. Получается как раз функция от $U$. Так что это за функция? Подсказываю, что распределение $U$ здесь еще не участвует.

[Neytrall]

так, я запутался...(

PAV в сообщении #275110 писал(а):

вычисляемая по формуле, которую Вы записывали

Какая из? А то я тут много всего написал и половина неправильно.
попробую ещё раз.
$P(N=x|U=t)=\frac{U^x}{x!}\ e^{-U}$

[PAV]

Теперь в левой части не совсем то стоит.

Вот пишу правильные формулы:

$$P(N=x|U=t)=\frac{t^x}{x!}e^{-t}$$

$$P(N=x|U)=\frac{U^x}{x!}e^{-U}$$

Только и всего. Обратите внимание, что первое выражение - функция от $t$, а второе - функция от случайной величины $U$. В задаче у нас параметр Пуассоновского распределения сам является случайной величиной, вот мы ее и написали.

Ну хорошо, эту часть сделали. Нашли $P(N=x|U)$. Но нам нужна безусловная вероятность $P(N=x)$. Возвращайтесь к начальным постам и вспоминайте, как ее найти. Здесь уже появится распределение $U$.

[Neytrall]

вы это имеете ввиду?
$P(N)=\frac{P(N|U)P(U)}{P(U|N)}$

Или

$P_N(x) = \sum\limits_u P(N\mid U)\, f(U)\, du$

[PAV]

Вы вводите какие-то новые и не вполне понятные обозначения, которых раньше не было. Что такое $P(N=x|U)$ я понимаю, а что такое $P(N)$ или $P(N|U)$ - не понимаю. Такого обозначения нет. Что означает запись

$$\sum_u\cdots du$$

догадаться можно, но почему не использовать стандартное для этих вещей обозначение? Что такое $P_N(x)$? Если это то же самое, что $P(N=x)$, тогда зачем вводить новое обозначение для того же самого, а если что-то другое - тогда что? Почему во второй формуле в левой части есть $x$, а в правой нету?

Неаккуратность в обозначениях весьма негативно сказывается на аккуратности самих математических выкладок.

Что же по сути - то просто оглянитесь и посмотрите, для чего нам понадобилось писать условное математическое ожидание. Там же есть формула, которой нужно воспользоваться, чтобы от $P(N=x|U)$ перейти к $P(N=x)$.

[Neytrall]

Это единственная формула, которая подходит из тех, что у меня записаны.
$\mathbb{P}(N=x) = \mathbb{E}[\mathbb{P}(N=x\mid U)]$.

[PAV]

Правильно, это собственно единственная формула, которая здесь подходит. Вот по ней и считайте.

(Оффтоп)

А вообще было бы и быстрее, и Вам же пользы больше, если бы Вы не ждали одобрения каждого шага, а пытались бы активнее двигаться вперед самостоятельно

-- Сб дек 26, 2009 15:01:58 --

Сейчас разбирал старые темы и наткнулся на тему, в которой постановка задачи в точности совпадает с Вашей.

topic6084.html

Не помню уже, в чем там было дело и чем кончилось, но по крайней мере теоретический материал там может быть Вам полезен (по крайней мере для понимания)

[Neytrall]

Так?
$P(N=x)=\int\limits_0^\infty P(N=x|U)P(U)$

Просто я не совсем понимаю, что подставлять...

-- Сб дек 26, 2009 14:23:01 --

Мне тяжело перевести это в числа.

[PAV]

Переменную интегрирования нужно обозначить отдельной буквой (например, $u$) и не забыть про $du$.

Чисел здесь не будет. Нужно подставить формулы для пуассоновской вероятности и для плотности гамма-распределения. Запишите полученный интеграл. Мне кажется, что он должен взяться (через гамма-функцию). Дальше будет видно.

По сути должна получиться функция правдоподобия для числа наблюдаемых фотонов, зависящая от параметров гамма-распределения. Ровно то, что нужно (по крайней мере, теоретически) для построения оценки.

[Neytrall]

$P(N=x)=\int\limits_0^\infty\frac{u^x}{x!}e^{-u}(\int\limits_0^u\frac{u^\alpha}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)} e^{-\frac{u}{\beta}}du)du$

Но ведь по идее
$P(U)= F(u;\alpha,\beta) = \int\limits_0^u f(u;\alpha,\beta)\,du =\frac{\gamma(\alpha, u/\beta)}{\Gamma(\alpha)} \, $
А я не знаю как её высчитать, что бы подставить в уравнение...

[PAV]

Откуда взялись два интеграла? Распишите подробнее, интеграл в общем виде и чему равны входящие в него функции.

[Neytrall]

$P(U)$ имеет гамма-распределение, так?
плотность вероятности:
$f_U(\alpha,\beta)=\frac{u^{\alpha-1}}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)} e^{-\frac{u}{\beta}}$
значит функция распределения
$P(U)=\int\limits_0^tf_U(\alpha,\beta)du$

Или же я должен подставить в уравнение функцию плотности??

[PAV]

У Вас есть некоторая функция от случайной величины $g(U)$. Как считается математическое ожидание $\mathbb{E}(g(U))$?