Большая задача по статистике!

[Neytrall]

$P(N=x)=\int\limits_0^\infty\frac{u^x}{x!}e^{-u}\frac{u^\alpha}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)} e^{-\frac{u}{\beta}}du=\dots=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha x!}\int\limits_0^\infty u^{x+\alpha}e^{u\frac{1+\beta}{-\beta}}du$
как делать такой интеграл?

[PAV]

Вы должны выразить его через гамма-функцию. Похожий интеграл ведь возникает в плотности гамма-распределения, и там посчитана нормирующая константа.

Маленький обзор того, что уже сделано. Если бы мы знали параметр распределения Пуассона, то имели бы конкретное выражение для вероятности. Но у нас он является случайной величиной, поэтому для вычисления той же вероятности оказывается нужно усреднить пуассоновскую вероятность по распределению этого параметра. Я произносил эту фразу в самом начале и теперь Вы должны уже понимать, что она означает. Этот вывод должен сформировать у Вас определенную вероятностную интуицию о том, что должно получаться в подобных ситуациях.

[Neytrall]

$P(N=x)=\int\limits_0^\infty\frac{u^x}{x!}e^{-u}\frac{u^\alpha}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)} e^{-\frac{u}{\beta}}du=\dots=\frac{\beta^x \Gamma(x+\alpha)}{(\beta+1)^{x+\alpha}\Gamma(\alpha)x!}\int\limits_0^\infty\frac{(\beta+1)^{x+\alpha}}{\beta^{x+\alpha}\Gamma(x+\alpha)}u^{x+\alpha}e^{\frac{-u}{\frac{\beta}{\beta+1}}}du=\frac{\beta^x \Gamma(x+\alpha)}{(\beta+1)^{x+\alpha}\Gamma(\alpha)x!}$

Вот что у меня получилось. Кстати мне так же дано, что $\alpha$ это любое целое число(Можно ли как-нибудь упростить это выражение?). Что теперь?

-- Сб дек 26, 2009 20:48:44 --

Я помню, что вы это говрили и попросил объяснения...но я до сих пор не понял, что значит "усреднить вероятность"

[PAV]

Вы взяли вероятность $\frac{u^x}{x!}e^{-u}$ и "усреднили" ее, умножив на плотность распределения $p(u)$ и проинтегрировав по $u$. Это стандартный смысл термина "усреднить" (нечто).

-- Сб дек 26, 2009 22:16:14 --

Я не проверял правильность Вашей арифметики, так что она на Вашей совести. Если $\alpha$ целое, то можно обе гамма-функции превратить в факториалы. Не знаю уж, насколько это поможет. Но скорее всего это условие добавлено как раз для упрощения Вашей жизни, чтобы гамма-функции не пугали (хотя на мой взгляд это вовсе было бы не обязательно).

Теперь у Вас есть функция правдоподобия для отдельной частицы. Дальше стандартная схема: перемножаем и максимизируем по $\alpha$ и $\beta$. Можно перейти к логарифмам для простоты. Думаю, что в явном виде решения тут не получишь, так что надо делать численно. Но поскольку всего два параметра, то это не должно быть очень сложно.

[Neytrall]

спасибо!
Сейчас попробую.

-- Сб дек 26, 2009 21:46:54 --

Только как найти производную по $\alpha$ и $\beta$? там же факториал!
$l=\ln L=\sum\limits_i^n(x_i+\alpha-1)!-n\alpha\ln\beta-n\ln(\alpha-1)!-\sum\limits_i^n x_i!$

-- Сб дек 26, 2009 21:51:14 --

с $\beta$ нет проблем...а что с $\alpha$?

-- Сб дек 26, 2009 22:05:39 --

и вообще:

$l'_\beta=-\frac{n\alpha}{\beta}$
если приравнять к нулю, то получится что $\alpha=0$...видимо весь этот путь вёл в тупик((((

[PAV]

Там же еще одна $\beta$ есть, которая в степень $x$ возводится.

Разумеется, поскольку $\alpha$ только целое, то по нему градиентный метод не проведешь. Но можно для каждого возможного $\alpha$ точно найти значение $\beta$, а уж различные $\alpha$ просто перебрать.

[Neytrall]

а..нет. я ошибся
$l=\sum\limits_{i=1}^n x_i\ln\beta+n\ln\Gamma(x+\alpha)-\sum\limits_{i=1}^n\ln x_i!-n\ln\Gamma(\alpha)-n\alpha\ln(\beta+1)-\ln(\beta++1)\sum\limits_{i=1}^n x_i$

-- Сб дек 26, 2009 22:23:03 --

$\hat\beta=\frac{\sum\limits_i^nx_i}{n\alpha}$
И всё же что делать с факториалом.
Я покапался в инете, но так и не нашёл нормального объяснения как найти производную

[PAV]

Нельзя найти производную факториала, поскольку он определен только для целых чисел

[Neytrall]

хммм...и как тогда найти второе уравнение?

[PAV]

А чем бы помогла производная?

[Neytrall]

вы же сами сказали:

PAV в сообщении #275517 писал(а):

Дальше стандартная схема: перемножаем и максимизируем по $\alpha$ и $\beta$

[PAV]

Ну, допустим, получилось бы какое-то значение типа $\alpha=3.56$. Но у Вас же в условии $\alpha$ целое, так что это значение не подходит.

-- Сб дек 26, 2009 23:39:34 --

Если хотите работать с производной, тогда не нужно превращать гамма-функцию в факториал, тогда можно дифференцировать. Только что это даст, учитывая Ваше дополнительное условие целочисленности?

[Neytrall]

так значит тупик?

[PAV]

Почему тупик? Я же сказал: перебор различных значений $\alpha$, для каждого находите соответствующее $\beta$ и считаете правдоподобие, берете наибольшее. Совершенно нормально.

[Neytrall]

вот от сюда, пожалуйста поподробнее...то есть я делаю $\beta$ как функцию $\alpha$ и потом подставляю в $l$?