2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Интересная задачка на ряды
Сообщение19.12.2009, 22:57 


18/12/09
48
Вы юмора не понимаете, пусть я раскрыл скобки, надо исследовать на все виды сходимости, а если не ограничиться $o(\frac{1} {n^{4\alpha}})$ и разложить дальше, то это будет влиять на сходимость и так до бесконечности

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задачка на ряды
Сообщение19.12.2009, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Раскройте скобки. Раскройте их.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задачка на ряды
Сообщение20.12.2009, 09:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
MOEVM в сообщении #273134 писал(а):
Вы юмора не понимаете, пусть я раскрыл скобки, надо исследовать на все виды сходимости, а если не ограничиться $o(\frac{1} {n^{4\alpha}})$ и разложить дальше, то это будет влиять на сходимость и так до бесконечности

Не до бесконечности. После раскрытия скобок первое слагаемое даст знакочередующийся ряд, а сумма всех остальных, начиная со второго -- знакопостоянный, т.к. второе играет среди них доминирующую роль. Условная сходимость будет наблюдаться ровно до тех пор, пока будет сходиться тот знакопостоянный ряд.

Это -- идея, а технически легче всего реализавать это безо всяких разложений -- просто вычтя из исходного выражения его главный член и приведя к общему знаменателю. Получится знакоопределённое выражение, со сходимостью ряда для которого всё ясно, ну и для вычтенного знакопеременного -- тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задачка на ряды
Сообщение20.12.2009, 12:20 


18/12/09
48
ewert
Я чую, что чуть недопонял, поэтому приведу ещё вариант,а Вы скажете верно или нет

Изображение $=$ ИзображениеИзображение $=$ Изображение $(\frac{2n^{2\alpha}+ (-1)^n} {2n^{2\alpha}})^{-1}=$ Изображение $(\frac{2n^{2\alpha}} {2n^{2\alpha}+ (-1)^n})$ $=\frac{(-1)^n 2n^{\alpha}} {2n^{2\alpha}+ (-1)^n}}$

исследуем на абс. сх-ть $\alpha>0$ ряд знакопостоянен с некоторого номера и эквивалентен $\frac{1} {n^{\alpha}}$, что означает абсолютную сх-ть при $\alpha>1$

исследуем просто на сходимость $\frac{2n^{\alpha}} {2n^{2\alpha}+ (-1)^n}}$ стремится к 0 (только монотонно ли?), а сумма минус единиц ограничена в совокупности (ряд Лейбница)
для $\alpha>0$ сходится, ну и абсолютно не сх-ся для альфа от 0 до 1, $=>$ условно сх-ся на $(0;1]$

для $\alpha<0$ делаем замену $\alpha=-\beta$ и вроде как все аналогично исследуется

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задачка на ряды
Сообщение20.12.2009, 12:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
MOEVM в сообщении #273255 писал(а):
(только монотонно ли?),

Вот именно. Далеко не всегда там будет монотонность.

А имелось в виду вот такое элементарное преобразование: $${(-1)^n\over n^\alpha+{(-1)^n\over2\,n^\alpha}}={(-1)^n\over n^\alpha}+\left({(-1)^n\over n^\alpha+{(-1)^n\over2\,n^\alpha}}-{(-1)^n\over n^\alpha}\right)={(-1)^n\over n^\alpha}-{1\over n^{3\alpha}\left(2+{(-1)^n\over n^{2\alpha}\right)}\;.$$ Первый ряд условно сходится при всех положительных альфах, а второй знакоопределён, и при каких альфах сходится?...

Замена альфы на минус альфу приводит к гораздо более грубой ситуации -- там весь ряд знакоопределён (ну кроме нескольких первых членов, возможно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задачка на ряды
Сообщение24.12.2009, 09:50 


18/12/09
48
2 ряд сходится абсолютно для $\alpha>\frac{1} {3}$
значит сходится абсолютно для $\alpha>1$ и сх-ся условно для $\alpha$ из $(0;1]$
верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задачка на ряды
Сообщение24.12.2009, 10:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Ещё раз посмотрите на второй ряд. Что он делает, когда не сходится абсолютно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задачка на ряды
Сообщение24.12.2009, 10:23 


18/12/09
48
я уже просто запутался

неужели расходится?
т.е. $[0;\frac{1}{3}]$ расходится от $\frac{1}{3}$ до $1$ сх-ся условно и для $\alpha>1$ cx-ся абсолютно ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задачка на ряды
Сообщение24.12.2009, 10:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Если не бу выкид сл, чит легч.
"Т.е. второе слагаемое ведёт себя так-то и так-то. Следовательно, исходный ряд..."

Да, получается так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задачка на ряды
Сообщение24.12.2009, 10:56 


18/12/09
48
благодарю, речь надо улучшать.

а для отрицательных альфа?
Я сделал замену $\alpha=-\beta$ получился ряд, знакопостоянный с 3-го члена,
.."причешем" выражение
$\frac{2n^{\beta}(-1)^n} {2+(-1)^n n^{2\beta}} $

если наложить модуль, то $\sim |\frac{k}{n^{\beta}}| , k -const$ и для $\beta>1$ сходится абсолютно (альфа <-1)
а что можно сказать о сходиомсти [-1;0)?

..ааа..ряд знакопостоянный, сходимость,условная сходимость и абсолютная схоимость одно и тоже, т.е. для $\beta<=1$ ряд расходится...ураа :P

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group