Интересная задачка на ряды, исследовать сходимость

[MOEVM]

Исследовать на все сходимости ряд с членом
$a_n=\frac{(-1)^n} {n^\alpha+\frac{(-1)^n} {2n^\alpha}}$

Первым делом выносим $\frac{(-1)^n} {n^\alpha}$
а $(1+\frac{(-1)^n} {2n^{2\alpha}})^{-1}$ раскладываем по Тейлору ,а вот там с каждым новым членом в разложении начинается какая-то ерунда, есть ещё идеи или помогите с таким вариантом решения

[ИСН]

Цитата:

Девушка доила корову, а в зеркале отражалось всё наоборот.

Так вот, при $\alpha>0$ на второе слагаемое в знаменателе можно тупо наплевать. Дальше всё банально.
А если меньше, то...

[MOEVM]

т.е. от 0 до 1 условно сх-ся
от 1 до плюс бесконечности абсолютно?*

[RIP]

ИСН в сообщении #272847 писал(а):

Так вот, при $\alpha>0$ на второе слагаемое в знаменателе можно тупо наплевать. Дальше всё банально.

Это неправда.

[Полосин]

Разложение (по порядку малости) достаточно провести до первого знакопостоянного члена.

[MOEVM]

где вы там знакопостоянный видели?)

[ИСН]

Вот чёрт! RIP прав, а я протупил. Наплевать нельзя. Эта хрень вносит поправку, которая хоть и меньше по модулю, зато знакопостоянна. Возвращайтесь к идее из корневого сообщения.

[Полосин]

MOEVM в сообщении #272897 писал(а):

где вы там знакопостоянный видели?)

"Ты, Зин, на грубость нарываешься..."
А если подумать?

[MOEVM]

вот-вот,а если подумать, так можно либо на первом шаге остановиться ,либо в бесконечности

[RIP]

дилитед.

[ewert]

MOEVM в сообщении #272987 писал(а):

вот-вот,а если подумать, так можно либо на первом шаге остановиться ,либо в бесконечности

Если подумать, то знаковый множитель при возведении в квадрат исчезает. Мы ведь сумму геометрической прогрессии не в бесконечный ряд собираемся раскладывать, а лишь на конечную глубину.

[MOEVM]

ewert, но мы же его домножаем на $\frac{(-1)^n} {n^\alpha}$ там все чередуется

[Someone]

Нет бы просто написать пару-тройку членов разложения в геометрическую прогрессию... А Вы предпочитаете много часов препираться по этому поводу.

Напишите нам, что получится, тогда будет видно.

[MOEVM]

Хорошо)

$\frac{(-1)^n} {n^\alpha} (1+\frac{(-1)^n} {2n^{2\alpha}})^{-1} = \frac{(-1)^n} {n^\alpha} (1- \frac{(-1)^n} {2n^{2\alpha}}+\frac{1} {8n^{4\alpha}}+o(\frac{1} {n^{4\alpha}}))$

теперь понятно ,что знаки чередуются?

[ИСН]

Раскройте скобки. Да. Вот эти, внутри которых стоит 1-дробь+дробь...