Интересная задачка на ряды, исследовать сходимость

[MOEVM]

Вы юмора не понимаете, пусть я раскрыл скобки, надо исследовать на все виды сходимости, а если не ограничиться $o(\frac{1} {n^{4\alpha}})$ и разложить дальше, то это будет влиять на сходимость и так до бесконечности

[ИСН]

Раскройте скобки. Раскройте их.

[ewert]

MOEVM в сообщении #273134 писал(а):

Вы юмора не понимаете, пусть я раскрыл скобки, надо исследовать на все виды сходимости, а если не ограничиться $o(\frac{1} {n^{4\alpha}})$ и разложить дальше, то это будет влиять на сходимость и так до бесконечности

Не до бесконечности. После раскрытия скобок первое слагаемое даст знакочередующийся ряд, а сумма всех остальных, начиная со второго -- знакопостоянный, т.к. второе играет среди них доминирующую роль. Условная сходимость будет наблюдаться ровно до тех пор, пока будет сходиться тот знакопостоянный ряд.

Это -- идея, а технически легче всего реализавать это безо всяких разложений -- просто вычтя из исходного выражения его главный член и приведя к общему знаменателю. Получится знакоопределённое выражение, со сходимостью ряда для которого всё ясно, ну и для вычтенного знакопеременного -- тоже.

[MOEVM]

ewert
Я чую, что чуть недопонял, поэтому приведу ещё вариант,а Вы скажете верно или нет

$=$ $=$ $(\frac{2n^{2\alpha}+ (-1)^n} {2n^{2\alpha}})^{-1}=$ $(\frac{2n^{2\alpha}} {2n^{2\alpha}+ (-1)^n})$ $=\frac{(-1)^n 2n^{\alpha}} {2n^{2\alpha}+ (-1)^n}}$

исследуем на абс. сх-ть $\alpha>0$ ряд знакопостоянен с некоторого номера и эквивалентен $\frac{1} {n^{\alpha}}$, что означает абсолютную сх-ть при $\alpha>1$

исследуем просто на сходимость $\frac{2n^{\alpha}} {2n^{2\alpha}+ (-1)^n}}$ стремится к 0 (только монотонно ли?), а сумма минус единиц ограничена в совокупности (ряд Лейбница)
для $\alpha>0$ сходится, ну и абсолютно не сх-ся для альфа от 0 до 1, $=>$ условно сх-ся на $(0;1]$

для $\alpha<0$ делаем замену $\alpha=-\beta$ и вроде как все аналогично исследуется

[ewert]

MOEVM в сообщении #273255 писал(а):

(только монотонно ли?),

Вот именно. Далеко не всегда там будет монотонность.

А имелось в виду вот такое элементарное преобразование:

$${(-1)^n\over n^\alpha+{(-1)^n\over2\,n^\alpha}}={(-1)^n\over n^\alpha}+\left({(-1)^n\over n^\alpha+{(-1)^n\over2\,n^\alpha}}-{(-1)^n\over n^\alpha}\right)={(-1)^n\over n^\alpha}-{1\over n^{3\alpha}\left(2+{(-1)^n\over n^{2\alpha}\right)}\;.$$

Первый ряд условно сходится при всех положительных альфах, а второй знакоопределён, и при каких альфах сходится?...

Замена альфы на минус альфу приводит к гораздо более грубой ситуации -- там весь ряд знакоопределён (ну кроме нескольких первых членов, возможно).

[MOEVM]

2 ряд сходится абсолютно для $\alpha>\frac{1} {3}$
значит сходится абсолютно для $\alpha>1$ и сх-ся условно для $\alpha$ из $(0;1]$
верно?

[ИСН]

Ещё раз посмотрите на второй ряд. Что он делает, когда не сходится абсолютно?

[MOEVM]

я уже просто запутался

неужели расходится?
т.е. $[0;\frac{1}{3}]$ расходится от $\frac{1}{3}$ до $1$ сх-ся условно и для $\alpha>1$ cx-ся абсолютно ?

[ИСН]

Если не бу выкид сл, чит легч.
"Т.е. второе слагаемое ведёт себя так-то и так-то. Следовательно, исходный ряд..."

Да, получается так.

[MOEVM]

благодарю, речь надо улучшать.

а для отрицательных альфа?
Я сделал замену $\alpha=-\beta$ получился ряд, знакопостоянный с 3-го члена,
.."причешем" выражение
$\frac{2n^{\beta}(-1)^n} {2+(-1)^n n^{2\beta}} $

если наложить модуль, то $\sim |\frac{k}{n^{\beta}}| , k -const$ и для $\beta>1$ сходится абсолютно (альфа <-1)
а что можно сказать о сходиомсти [-1;0)?

..ааа..ряд знакопостоянный, сходимость,условная сходимость и абсолютная схоимость одно и тоже, т.е. для $\beta<=1$ ряд расходится...ураа