Лин. пространство

[JollyRoger]

Есть множество (линейное пространство) векторов $ \{x_1;\ x_2;\ \ldots;\ x_n\} $, удовлетворяющих равенству $ 2 x_1 + 2^2 x_2 + \ldots + 2^n x_n = 0 $.

Разве вектора
$ e_1 = \{-2;\ 1;\ 0;\ \ldots,\ 0\} $
$ e_2 = \{-4;\ 0;\ 1;\ \ldots,\ 0\} $
...
$ e_{n-1} = \{-2^{n-1};\ 0;\ 0;\ \ldots,\ 1\} $
не являются базисными?

[jetyb]

Задана гиперплоскость, известен перпендикулярный к ней вектор $e_n$. Осталось проверить:
1) $(e_i,e_n)=0\quad i\neq n$
2)$e_1,\ldots, e_n$ - базис в $R^n$

[ewert]

JollyRoger в сообщении #274269 писал(а):

Есть множество (линейное пространство) векторов $ \{x_1;\ x_2;\ \ldots;\ x_n\} $, удовлетворяющих равенству $ 2 x_1 + 2^2 x_2 + \ldots + 2^n x_n = 0 $.

Разве вектора
$ e_1 = \{-2;\ 1;\ 0;\ \ldots,\ 0\} $
$ e_2 = \{-4;\ 0;\ 1;\ \ldots,\ 0\} $
...
$ e_{n-1} = \{-2^{n-1};\ 0;\ 0;\ \ldots,\ 1\} $
не являются базисными?

Являются. А что?

[JollyRoger]

ewert в сообщении #274304 писал(а):

JollyRoger в сообщении #274269 писал(а):

Есть множество (линейное пространство) векторов $ \{x_1;\ x_2;\ \ldots;\ x_n\} $, удовлетворяющих равенству $ 2 x_1 + 2^2 x_2 + \ldots + 2^n x_n = 0 $.

Разве вектора
$ e_1 = \{-2;\ 1;\ 0;\ \ldots,\ 0\} $
$ e_2 = \{-4;\ 0;\ 1;\ \ldots,\ 0\} $
...
$ e_{n-1} = \{-2^{n-1};\ 0;\ 0;\ \ldots,\ 1\} $
не являются базисными?

Являются. А что?

Преподаватель почему-то поставил знак вопроса. Возможно у него базис по-другому выглядит...

jetyb в сообщении #274272 писал(а):

... известен перпендикулярный к ней вектор $e_n$

А мне — нет. Какой вектор имеется ввиду?

И вообще

jetyb в сообщении #274272 писал(а):

... известен перпендикулярный к ней вектор $e_n$

jetyb в сообщении #274272 писал(а):

Осталось проверить:
1) $(e_i,e_n)=0\quad i\neq n$

Зачем в таком случае проверять?

[jetyb]

Постройте перпендикулярный вектор для к прямой на плоскости и к плоскости в пространстве, которые заданы уравнениями типа $a_1x_1+\ldots+a_nx_n=0$.
Закономерность узрели? Тогда примените её для общего случая и проверьте ортогональность.

[ewert]

JollyRoger в сообщении #274631 писал(а):

Преподаватель почему-то поставил знак вопроса. Возможно у него базис по-другому выглядит...

Скорее потому, что Вы не снизошли до разъяснения -- почему это базис.

Либо покажите, как Вы его выводили. Либо -- из общих соображений: а) эти элементы принадлежат подпространству; б) они линейно независимы; в) их $(n-1)$ штук, и размерность подпространства такая же (вот тут-то и пригодятся соображения ортогональности, хотя можно и без них).

[bot]

ewert в сообщении #274667 писал(а):

(вот тут-то и пригодятся соображения ортогональности).

А разве в аффинном пространстве это не так?

[ewert]

bot в сообщении #274669 писал(а):

А разве в аффинном пространстве это не так?

Оно не просто аффинное -- а просто линейное. И к тому же ещё и евклидово. И вообще, всё зависит от того, какой материал им на данный момент начитали.

[bot]

Системы линейных уравнений обычно появляется намного раньше евклидовых пространств. Для одного уравнения общее решение не напишет только ленивый, а из него очевидны оба свойства, определящие базис (пространства решений в данном случае).

[ewert]

Но если евклидовость уже есть, то можно отмахнуться простой фразой: размерность ортогонального дополнения есть $n$ минус размерность одномерного подпространства.

[bot]

А если евклидовости ещё не введена, то другой - размерность пространства решений это число неизвестных минус ранг матрицы системы или равносильно - число свободных неизвестных в общем решении.

[ewert]

(Оффтоп)

конечно, но это гораздо менее очевидно -- так, навскидку и на глазок

[JollyRoger]

ewert
bot
jetyb
Спасибо за внимание к теме. Как мне показалось, через ФСР проще всего доказать.