Помогите доказать существование предела последовательности

[a-next]

Народ, пожалуйста, помогите доказать существование предела! Никак не могу его разобрать, доказал что последовательность ограничена, а дальше как об стену горох =(

$x_{1} = 10$, $x_{n+1} = \frac{1}{3}(x_{n} + \frac{10}{x_{n}})$, $\lim\limits_{x\to\infty} (x_{n}) = ?$

К сожалению, от этого зависит зачет =(

[jetyb]

$x_n>\sqrt{\frac{40}{3}}$
$x_{n+1}<x_n<\frac{x_n}{3}+$ХЗ

[a-next]

x_{n+1} = \frac{\sqrt10}{3}(\frac{x_{n}}{\sqrt10} + \frac{\sqrt10}{x_{n}})$
В скобках сумма двух взаимно обратных чисел, и по теореме, она всегда >= 2
Отсюда следует, что последовательность ограничена снизу. Но как доказать, что она убывает?

[Maslov]

Не зацикливайтесь на доказательстве того, что последовательность убывает: она не монотонна.
А вообще, это просто формула итерационного вычисления методом Герона $\sqrt{5}$ методом Герона

[id]

Подпоследовательности можно рассмотреть ( с четными/нечетными номерами ). Из них одна монотонно убывает, другая монотонно возрастает.

[a-next]

Цитата:

А вообще, это просто формула итерационного вычисления методом Герона

У формулы Герона перед скобками стоит 1\2, в тех номерах где стоит 1\2 предел очень быстро находится, а с 1\3 никак =\

[Maslov]

Да, не прав я насчёт Герона. В Героне $x_{n+1} = \dfrac{1}{2} \dfrac{x_n^2 + 5}{x_n}$, а здесь $x_{n+1} = \dfrac{1}{3} \dfrac{x_n^2 + 10}{x_n}$

[Sonic86]

(фигня удалена)

-- Ср дек 23, 2009 14:18:13 --

Можно ввести переменную $y_n = x_n - x_{n+1}$, подставить и доказать, что она больше нуля.
Только это выглядит немного глупо... общность не видна...

[ИСН]

Общность начинается со слов "сжимающее отображение" и "потому что производная".

[Sonic86]

ИСН писал(а):

Общность начинается со слов "сжимающее отображение" и "потому что производная".

то есть это все-таки метод Ньютона?

[Maslov]

Sonic86 в сообщении #274392 писал(а):

Можно ввести переменную $y_n = x_n - x_{n+1}$, подставить и доказать, что она больше нуля.

Этого нельзя доказать, потому что $y_n$ знакопеременна.

[Sonic86]

Maslov писал(а):

Этого нельзя доказать, потому что $y_n$ знакопеременна.

jetyb писал(а):

$x_n > \sqrt{\frac{40}{3}}$

$x_{n+1} = \frac13 (x_n + \frac{10}{x_n})$
$x_{n+2} = \frac13 (x_{n+1} + \frac{10}{x_{n+1}})$
$x_{n+1}-x_{n+2} = \frac13 (x_n-x_{n+1})(1- \frac{10}{x_nx_{n+1}})$
Поскольку $1- \frac{10}{x_nx_{n+1}} > 1- \frac34 > 0$, то $sign (x_{n+2}-x_{n+1}) = sign (x_{n+1}-x_{n})$.
Правильно? М.б. это для некоторого $n \geq n_0$?

-- Ср дек 23, 2009 15:25:55 --

А нет! Действительно знакочередующаяся! Значит это все фигня...

[Maslov]

Sonic86 в сообщении #274409 писал(а):

jetyb писал(а):
$x_n > \sqrt{\frac{40}{3}}$

А откуда это взялось? Вообще-то $\lim\limits_{n\to\infty}x_n = \sqrt 5$.

[Sonic86]

А, ну в таком случае как раз получается $sign(y_{n+1}) = - sign (y_n)$!

-- Ср дек 23, 2009 15:55:49 --

Ну в таком случае из того же неравенства получается $|y_{n+1}|<\frac13|y_n| \cdot a_n$, где $a_n < 3$ с некоторого шага. Тогда отсюда сходимость причем экспоненциальная.

[Maslov]

Sonic86 в сообщении #274419 писал(а):

Ну в таком случае из того же неравенства

Из какого "того же"?