Несколько вопросов по функану

[ewert]

ShMaxG в сообщении #272801 писал(а):

Ну да, финитные последовательности с рациональными членами вполне подойдут... Спасибо!

Пожалуйста, только мы тут с Вами маленько маху дали (не подойдут финитные последовательности). Не будет пространство $\[E = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left| {{x_n}} \right|}} {n} < \infty } } \right\}\]$ плотно в $\[E' = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {x_n} \right|}}{{{n^2}}} < \infty } \right\}\]$. Надо последнее чуток подправить.

(И, кстати, рациональность-то зачем?... Не сепарабельность же мы доказываем.)

[ShMaxG]

Может быть поправить так надо?
$ \[E' = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\frac{{\left| {{x_n}} \right|}} {n} \to 0,n \to \infty } \right\}\]$

[ewert]

Эх, вот если бы скрестить этого ужа с предыдущим ежом... Тогда, может, и так.

(что в знаменателях-то?...)

[ShMaxG]

Хорошо, еще раз:
Исходное пространство:

$\[E = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left| {{x_n}} \right|}} {n}} < \infty } \right\},\rho \left( {x,y} \right) = \mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {{x_n} - {y_n}} \right|}} {{{n^2}}}\]$

Пополнение:

$\[E' = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\frac{{\left| {{x_n}} \right|}} {{{n^2}}} \to 0,n \to \infty } \right\},\rho \left( {x,y} \right) = \mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {{x_n} - {y_n}} \right|}} {{{n^2}}}\]$

Тогда в $E$ существует всюду плотное в $E'$ множество - финитные, понятно какие.

Так пойдет?

[ewert]

По-моему, пойдёт. Если, конечно, заменить во втором случае максимумы на супремумы.

[ShMaxG]

А вот это как раз не обязательно, ибо максимум обязательно достигается на каком-то $n$, т.к. последовательности по модулю стремится к нулю (т.е. супремум здесь совпадает с максимумом).

[ewert]

ShMaxG в сообщении #273890 писал(а):

А вот это как раз не обязательно, ибо максимум обязательно достигается на каком-то $n$, т.к. последовательности по модулю стремится к нулю (т.е. супремум здесь совпадает с максимумом).

Хм. Ну да, и впрямь, но как-то это некультурно смотрится. Ведь это пространство -- лишь подпространство того, изначально (ошибочно) заявленного пространства, в котором -- именно супремум.

[ShMaxG]

(Ок, понял, спасибо)

[ewert]

(Оффтоп)

нет, я имел в виду изначально предложенное как пополнение; там -- не максимум.

[ShMaxG]

ShMaxG в сообщении #272722 писал(а):

$\[\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists N:\forall m,l \geqslant N{\text{ }}\forall n{\text{ }}\frac{{\left| {x_n^m - x_n^l} \right|}} {{{n^2}}}{\text{ < }}\varepsilon {\text{ }}\]$, т.е. $\[\left| {\widetilde{x}_n^m - \widetilde{x}_n^l} \right|{\text{ < }}\varepsilon \] $. Ну а "волновая" последовательность - обычная числовая последовательность, которая, как видим, является фундаментальной - значит она сходится (к некоторому $x_n^*$). Легко получить $\[\rho \left( {x_n^m,x_n^*} \right) \to 0,n \to \infty \] $.

Вот на этом месте меня остановил преподаватель. Это при фиксированных $n$ "волновая последовательность" фундаментальна и сходится. А у меня здесь $n$ не фиксировано, надо как-то это дело разрулить...

[ewert]

Я бы на месте преподавателя тоже остановил (это я уж просто потом попытался домыслить). Там шибко уж много индексов. И следует обязательно указывать: по какому из них имеется в виду "последовательность", а какие полагаются фиксированными.

С формальной точки зрения -- та Ваша формулировка действительно никакого смысла не имеет.

[ShMaxG]

Хорошо, проанализируем тщательней:

Пусть $\[{\left( {{x_n}} \right)_m}\]$ - произвольная фундаментальная последовательность точек пространства $E'$ (параметр $n$ - внутренний, нумерует компоненты точки, а $m$ - внешний, нумерует точки последовательности). По определению, это означает, что

$\[\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists N\left( \varepsilon \right) > 0{\text{ }}\forall m,l \geqslant N{\text{ }}\mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {{{\left( {{x_n}} \right)}_m} - {{\left( {{x_n}} \right)}_l}} \right|}} {{{n^2}}} < \varepsilon \]$

Следствие первой формулы:

$\[\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists N\left( \varepsilon \right) > 0{\text{ }}\forall m,l \geqslant N{\text{ }}\forall n{\text{ }}\frac{{\left| {{{\left( {{x_n}} \right)}_m} - {{\left( {{x_{_n}}} \right)}_l}} \right|}} {{{n^2}}} < \varepsilon \]$

Если занесу $n^2$ под модуль, то слагаемые не будут числовыми последовательностями от параметров $m,l$. Поэтому запишем следствие этой формулы так:
$ \[\forall n{\text{ }}\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists N\left( \varepsilon \right) > 0{\text{ }}\forall m,l \geqslant N{\text{ }}\left| {\frac{{{{\left( {{x_n}} \right)}_m}}} {{{n^2}}} - \frac{{{{\left( {{x_{_n}}} \right)}_l}}} {{{n^2}}}} \right| < \varepsilon \]$

Здесь $n$ - фиксированное число, а под модулем стоят слагаемые, являющиеся числовыми последовательностями от параметров $m,l$. Вот теперь уже видно, что при фиксированном $n$ последовательность $\[{\frac{{{{\left( {{x_n}} \right)}_m}}} {{{n^2}}}}\]$ является фундаментальной, значит сходится. Т.е. $\[\frac{{{{\left( {{x_n}} \right)}_m}}} {{{n^2}}} \to \frac{{\left( {x_n^*} \right)}} {{{n^2}}},{\text{ }}m \to \infty \] $.

Устремляя $l$ к бесконечности, можем записать:
$ \[\forall n{\text{ }}\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists N\left( \varepsilon \right) > 0{\text{ }}\forall m \geqslant N{\text{ }}\left| {\frac{{{{\left( {{x_n}} \right)}_m}}} {{{n^2}}} - \frac{{\left( {x_n^*} \right)}} {{{n^2}}}} \right| \leqslant \varepsilon \]$

Но нам бы хотелось, чтобы оценка была равномерной по $n$.

Но, с другой стороны, $N$ не зависит от $n$. Так что квантор для $n$ можно вернуть на свое место. На этом этапе я могу $\forall n$ заменить на супремум выражения по всем $n$, но не на максимум. Впрочем, легко показать, что $x_n^*$ принадлежит $E'$, следовательно супремум можно заменить на максимум.

Проверьте рассуждения пожалуйста...

[ShMaxG]

Рассуждения оказались верными.

Да и вообще, получил сегодня зачет, так что не буду больше мучить этим до следующего семестра