2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Несколько вопросов по функану
Сообщение19.12.2009, 16:06 
ShMaxG в сообщении #272801 писал(а):
Ну да, финитные последовательности с рациональными членами вполне подойдут... Спасибо!

Пожалуйста, только мы тут с Вами маленько маху дали (не подойдут финитные последовательности). Не будет пространство $\[E = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\left| {{x_n}} \right|}}
{n} < \infty } } \right\}\]$ плотно в $\[E' = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {x_n} \right|}}{{{n^2}}} < \infty } \right\}\]$. Надо последнее чуток подправить.

(И, кстати, рациональность-то зачем?... Не сепарабельность же мы доказываем.)

 
 
 
 Re: Несколько вопросов по функану
Сообщение19.12.2009, 16:24 
Аватара пользователя
Может быть поправить так надо?
$
\[E' = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\frac{{\left| {{x_n}} \right|}}
{n} \to 0,n \to \infty } \right\}\]$

 
 
 
 Re: Несколько вопросов по функану
Сообщение19.12.2009, 16:27 
Эх, вот если бы скрестить этого ужа с предыдущим ежом... Тогда, может, и так.

(что в знаменателях-то?...)

 
 
 
 Re: Несколько вопросов по функану
Сообщение21.12.2009, 14:02 
Аватара пользователя
Хорошо, еще раз:
Исходное пространство:

$\[E = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\left| {{x_n}} \right|}}
{n}}  < \infty } \right\},\rho \left( {x,y} \right) = \mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {{x_n} - {y_n}} \right|}}
{{{n^2}}}\]$

Пополнение:

$\[E' = \left\{ {\left( {{x_n}} \right)|\frac{{\left| {{x_n}} \right|}}
{{{n^2}}} \to 0,n \to \infty } \right\},\rho \left( {x,y} \right) = \mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {{x_n} - {y_n}} \right|}}
{{{n^2}}}\]$

Тогда в $E$ существует всюду плотное в $E'$ множество - финитные, понятно какие.

Так пойдет?

 
 
 
 Re: Несколько вопросов по функану
Сообщение21.12.2009, 20:48 
По-моему, пойдёт. Если, конечно, заменить во втором случае максимумы на супремумы.

 
 
 
 Re: Несколько вопросов по функану
Сообщение21.12.2009, 22:00 
Аватара пользователя
А вот это как раз не обязательно, ибо максимум обязательно достигается на каком-то $n$, т.к. последовательности по модулю стремится к нулю (т.е. супремум здесь совпадает с максимумом).

 
 
 
 Re: Несколько вопросов по функану
Сообщение21.12.2009, 22:07 
ShMaxG в сообщении #273890 писал(а):
А вот это как раз не обязательно, ибо максимум обязательно достигается на каком-то $n$, т.к. последовательности по модулю стремится к нулю (т.е. супремум здесь совпадает с максимумом).

Хм. Ну да, и впрямь, но как-то это некультурно смотрится. Ведь это пространство -- лишь подпространство того, изначально (ошибочно) заявленного пространства, в котором -- именно супремум.

 
 
 
 Re: Несколько вопросов по функану
Сообщение21.12.2009, 22:19 
Аватара пользователя
(Ок, понял, спасибо)

 
 
 
 Re: Несколько вопросов по функану
Сообщение21.12.2009, 22:24 

(Оффтоп)

нет, я имел в виду изначально предложенное как пополнение; там -- не максимум.

 
 
 
 Re: Несколько вопросов по функану
Сообщение22.12.2009, 15:07 
Аватара пользователя
ShMaxG в сообщении #272722 писал(а):

$\[\forall \varepsilon  > 0{\text{  }}\exists N:\forall m,l \geqslant N{\text{  }}\forall n{\text{  }}\frac{{\left| {x_n^m - x_n^l} \right|}}
{{{n^2}}}{\text{ < }}\varepsilon {\text{  }}\]$, т.е. $\[\left| {\widetilde{x}_n^m - \widetilde{x}_n^l} \right|{\text{ < }}\varepsilon \]
$. Ну а "волновая" последовательность - обычная числовая последовательность, которая, как видим, является фундаментальной - значит она сходится (к некоторому $x_n^*$). Легко получить $\[\rho \left( {x_n^m,x_n^*} \right) \to 0,n \to \infty \]
$.


Вот на этом месте меня остановил преподаватель. Это при фиксированных $n$ "волновая последовательность" фундаментальна и сходится. А у меня здесь $n$ не фиксировано, надо как-то это дело разрулить...

 
 
 
 Re: Несколько вопросов по функану
Сообщение22.12.2009, 19:06 
Я бы на месте преподавателя тоже остановил (это я уж просто потом попытался домыслить). Там шибко уж много индексов. И следует обязательно указывать: по какому из них имеется в виду "последовательность", а какие полагаются фиксированными.

С формальной точки зрения -- та Ваша формулировка действительно никакого смысла не имеет.

 
 
 
 Re: Несколько вопросов по функану
Сообщение22.12.2009, 20:07 
Аватара пользователя
Хорошо, проанализируем тщательней:

Пусть $\[{\left( {{x_n}} \right)_m}\]$ - произвольная фундаментальная последовательность точек пространства $E'$ (параметр $n$ - внутренний, нумерует компоненты точки, а $m$ - внешний, нумерует точки последовательности). По определению, это означает, что

$\[\forall \varepsilon  > 0{\text{  }}\exists N\left( \varepsilon  \right) > 0{\text{  }}\forall m,l \geqslant N{\text{  }}\mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {{{\left( {{x_n}} \right)}_m} - {{\left( {{x_n}} \right)}_l}} \right|}}
{{{n^2}}} < \varepsilon \]$

Следствие первой формулы:

$\[\forall \varepsilon  > 0{\text{  }}\exists N\left( \varepsilon  \right) > 0{\text{  }}\forall m,l \geqslant N{\text{  }}\forall n{\text{  }}\frac{{\left| {{{\left( {{x_n}} \right)}_m} - {{\left( {{x_{_n}}} \right)}_l}} \right|}}
{{{n^2}}} < \varepsilon \]$

Если занесу $n^2$ под модуль, то слагаемые не будут числовыми последовательностями от параметров $m,l$. Поэтому запишем следствие этой формулы так:
$
\[\forall n{\text{  }}\forall \varepsilon  > 0{\text{  }}\exists N\left( \varepsilon  \right) > 0{\text{  }}\forall m,l \geqslant N{\text{  }}\left| {\frac{{{{\left( {{x_n}} \right)}_m}}}
{{{n^2}}} - \frac{{{{\left( {{x_{_n}}} \right)}_l}}}
{{{n^2}}}} \right| < \varepsilon \]$

Здесь $n$ - фиксированное число, а под модулем стоят слагаемые, являющиеся числовыми последовательностями от параметров $m,l$. Вот теперь уже видно, что при фиксированном $n$ последовательность $\[{\frac{{{{\left( {{x_n}} \right)}_m}}}
{{{n^2}}}}\]$ является фундаментальной, значит сходится. Т.е. $\[\frac{{{{\left( {{x_n}} \right)}_m}}}
{{{n^2}}} \to \frac{{\left( {x_n^*} \right)}}
{{{n^2}}},{\text{  }}m \to \infty \]
$.

Устремляя $l$ к бесконечности, можем записать:
$
\[\forall n{\text{  }}\forall \varepsilon  > 0{\text{  }}\exists N\left( \varepsilon  \right) > 0{\text{  }}\forall m \geqslant N{\text{  }}\left| {\frac{{{{\left( {{x_n}} \right)}_m}}}
{{{n^2}}} - \frac{{\left( {x_n^*} \right)}}
{{{n^2}}}} \right| \leqslant \varepsilon \]$

Но нам бы хотелось, чтобы оценка была равномерной по $n$.

Но, с другой стороны, $N$ не зависит от $n$. Так что квантор для $n$ можно вернуть на свое место. На этом этапе я могу $\forall n$ заменить на супремум выражения по всем $n$, но не на максимум. Впрочем, легко показать, что $x_n^*$ принадлежит $E'$, следовательно супремум можно заменить на максимум.

Проверьте рассуждения пожалуйста...

 
 
 
 Re: Несколько вопросов по функану
Сообщение23.12.2009, 21:28 
Аватара пользователя
Рассуждения оказались верными.

Да и вообще, получил сегодня зачет, так что не буду больше мучить этим до следующего семестра :)

 
 
 [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group