Хорошо, проанализируем тщательней:
Пусть
![$\[{\left( {{x_n}} \right)_m}\]$ $\[{\left( {{x_n}} \right)_m}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/3/1b338e5a6952c585d2eef5b49f021ac382.png)
- произвольная фундаментальная последовательность точек пространства

(параметр

- внутренний, нумерует компоненты точки, а

- внешний, нумерует точки последовательности). По определению, это означает, что
![$\[\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists N\left( \varepsilon \right) > 0{\text{ }}\forall m,l \geqslant N{\text{ }}\mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {{{\left( {{x_n}} \right)}_m} - {{\left( {{x_n}} \right)}_l}} \right|}}
{{{n^2}}} < \varepsilon \]$ $\[\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists N\left( \varepsilon \right) > 0{\text{ }}\forall m,l \geqslant N{\text{ }}\mathop {\max }\limits_n \frac{{\left| {{{\left( {{x_n}} \right)}_m} - {{\left( {{x_n}} \right)}_l}} \right|}}
{{{n^2}}} < \varepsilon \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/1/cd19cf5cd1ad33e85e74831222c8269f82.png)
Следствие первой формулы:
![$\[\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists N\left( \varepsilon \right) > 0{\text{ }}\forall m,l \geqslant N{\text{ }}\forall n{\text{ }}\frac{{\left| {{{\left( {{x_n}} \right)}_m} - {{\left( {{x_{_n}}} \right)}_l}} \right|}}
{{{n^2}}} < \varepsilon \]$ $\[\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists N\left( \varepsilon \right) > 0{\text{ }}\forall m,l \geqslant N{\text{ }}\forall n{\text{ }}\frac{{\left| {{{\left( {{x_n}} \right)}_m} - {{\left( {{x_{_n}}} \right)}_l}} \right|}}
{{{n^2}}} < \varepsilon \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/f/4ff7836e33021ff34aada5b75974b2b982.png)
Если занесу

под модуль, то слагаемые не будут числовыми последовательностями от параметров

. Поэтому запишем следствие этой формулы так:
![$
\[\forall n{\text{ }}\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists N\left( \varepsilon \right) > 0{\text{ }}\forall m,l \geqslant N{\text{ }}\left| {\frac{{{{\left( {{x_n}} \right)}_m}}}
{{{n^2}}} - \frac{{{{\left( {{x_{_n}}} \right)}_l}}}
{{{n^2}}}} \right| < \varepsilon \]$ $
\[\forall n{\text{ }}\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists N\left( \varepsilon \right) > 0{\text{ }}\forall m,l \geqslant N{\text{ }}\left| {\frac{{{{\left( {{x_n}} \right)}_m}}}
{{{n^2}}} - \frac{{{{\left( {{x_{_n}}} \right)}_l}}}
{{{n^2}}}} \right| < \varepsilon \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/d/a8d7c8965a7f448ee913023bdfb27ae282.png)
Здесь

- фиксированное число, а под модулем стоят слагаемые, являющиеся числовыми последовательностями от параметров

. Вот теперь уже видно, что при фиксированном

последовательность
![$\[{\frac{{{{\left( {{x_n}} \right)}_m}}}
{{{n^2}}}}\]$ $\[{\frac{{{{\left( {{x_n}} \right)}_m}}}
{{{n^2}}}}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5ac0e9e4c1c45c14a57f401dff2ba482.png)
является фундаментальной, значит сходится. Т.е.
![$\[\frac{{{{\left( {{x_n}} \right)}_m}}}
{{{n^2}}} \to \frac{{\left( {x_n^*} \right)}}
{{{n^2}}},{\text{ }}m \to \infty \]
$ $\[\frac{{{{\left( {{x_n}} \right)}_m}}}
{{{n^2}}} \to \frac{{\left( {x_n^*} \right)}}
{{{n^2}}},{\text{ }}m \to \infty \]
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/4/4448b5fc0e82a06fe4e067a8d86261bb82.png)
.
Устремляя

к бесконечности, можем записать:
![$
\[\forall n{\text{ }}\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists N\left( \varepsilon \right) > 0{\text{ }}\forall m \geqslant N{\text{ }}\left| {\frac{{{{\left( {{x_n}} \right)}_m}}}
{{{n^2}}} - \frac{{\left( {x_n^*} \right)}}
{{{n^2}}}} \right| \leqslant \varepsilon \]$ $
\[\forall n{\text{ }}\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists N\left( \varepsilon \right) > 0{\text{ }}\forall m \geqslant N{\text{ }}\left| {\frac{{{{\left( {{x_n}} \right)}_m}}}
{{{n^2}}} - \frac{{\left( {x_n^*} \right)}}
{{{n^2}}}} \right| \leqslant \varepsilon \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/3/0a31b834814cb77c77e2f1b71c351cf082.png)
Но нам бы хотелось, чтобы оценка была равномерной по

.
Но, с другой стороны,

не зависит от

. Так что квантор для

можно вернуть на свое место. На этом этапе я могу

заменить на супремум выражения по всем

, но не на максимум. Впрочем, легко показать, что

принадлежит

, следовательно супремум можно заменить на максимум.
Проверьте рассуждения пожалуйста...