простая задача на сходимость ряда (сравнение рядов)

[evg]

Будет ли из сходимости ряда $\sum a_n $, а так же при $\lim_{x\to\infty} (\frac {a_n} {b_n})$ следовать сходимость ряда $\sum b_n $?
По-моему, он будет сходиться по теореме сравнения рядов. Но преподаватель говорит что что-то не так.

[ИСН]

Если сходимость условная, всё может оказаться плохо.

[ewert]

evg в сообщении #273853 писал(а):

По-моему, он будет сходиться по теореме сравнения рядов.

Теоремы сравнения (любые) в принципе работают только для знакопостоянных рядов. В их формулировках это даже обычно и явно подчёркивается. Ну а если не в самих формулировках -- то в начале соотв. параграфов.

[Sasha2]

А все же интересно можно или нет получить какой-гибудь признак сходимости здесь, ну что-то вроде:

Ряд ${b_n}$ (а этого вполне достаточно, если нужен простой признак без извивов) будет сходиться при указанных автором условиях тогда и только тогда, когда соответствующие члены рядов ${a_n}$ и ${b_n}$ имют одни и те же знаки.

[ИСН]

А так не будет.

[Sasha2]

Да почему не будет.
Возьмите любой ряд и умножьте его на произвольную постоянную.

[ИСН]

Потому. Это (умножить на константу) хороший пример, но есть и плохие.

[Полосин]

Sasha2 в сообщении #273888 писал(а):

А все же интересно можно или нет получить какой-гибудь признак сходимости здесь, ну что-то вроде:

Ряд ${b_n}$ (а этого вполне достаточно, если нужен простой признак без извивов) будет сходиться при указанных автором условиях тогда и только тогда, когда соответствующие члены рядов ${a_n}$ и ${b_n}$ имют одни и те же знаки.

$a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}, b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac1n$

[Sasha2]

Да, признаю был неправ.

[evg]

Т.е получается что если ряд $a_n$ и ряд $b_n$ знакоположительные (знакоотрицательные) то ряд $b_n$ сходится.
А если ряд $a_n$ сходится условно, то ряд $b_n$ может как сходиться, так и расходиться?