2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 простая задача на сходимость ряда (сравнение рядов)
Сообщение21.12.2009, 20:24 
Будет ли из сходимости ряда $\sum a_n $, а так же при $\lim_{x\to\infty} (\frac {a_n} {b_n})$ следовать сходимость ряда $\sum b_n $?
По-моему, он будет сходиться по теореме сравнения рядов. Но преподаватель говорит что что-то не так.

 
 
 
 Re: простая задача на сходимость ряда
Сообщение21.12.2009, 20:37 
Аватара пользователя
Если сходимость условная, всё может оказаться плохо.

 
 
 
 Re: простая задача на сходимость ряда
Сообщение21.12.2009, 20:54 
evg в сообщении #273853 писал(а):
По-моему, он будет сходиться по теореме сравнения рядов.

Теоремы сравнения (любые) в принципе работают только для знакопостоянных рядов. В их формулировках это даже обычно и явно подчёркивается. Ну а если не в самих формулировках -- то в начале соотв. параграфов.

 
 
 
 Re: простая задача на сходимость ряда
Сообщение21.12.2009, 21:59 
А все же интересно можно или нет получить какой-гибудь признак сходимости здесь, ну что-то вроде:

Ряд ${b_n}$ (а этого вполне достаточно, если нужен простой признак без извивов) будет сходиться при указанных автором условиях тогда и только тогда, когда соответствующие члены рядов ${a_n}$ и ${b_n}$ имют одни и те же знаки.

 
 
 
 Re: простая задача на сходимость ряда
Сообщение21.12.2009, 22:01 
Аватара пользователя
А так не будет.

 
 
 
 Re: простая задача на сходимость ряда
Сообщение21.12.2009, 22:03 
Да почему не будет.
Возьмите любой ряд и умножьте его на произвольную постоянную.

 
 
 
 Re: простая задача на сходимость ряда
Сообщение21.12.2009, 22:06 
Аватара пользователя
Потому. Это (умножить на константу) хороший пример, но есть и плохие.

 
 
 
 Re: простая задача на сходимость ряда
Сообщение21.12.2009, 22:07 
Sasha2 в сообщении #273888 писал(а):
А все же интересно можно или нет получить какой-гибудь признак сходимости здесь, ну что-то вроде:

Ряд ${b_n}$ (а этого вполне достаточно, если нужен простой признак без извивов) будет сходиться при указанных автором условиях тогда и только тогда, когда соответствующие члены рядов ${a_n}$ и ${b_n}$ имют одни и те же знаки.


$a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}, b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac1n$

 
 
 
 Re: простая задача на сходимость ряда
Сообщение21.12.2009, 22:10 
Да, признаю был неправ.

 
 
 
 Re: простая задача на сходимость ряда
Сообщение21.12.2009, 22:36 
Т.е получается что если ряд $a_n$ и ряд $b_n$ знакоположительные (знакоотрицательные) то ряд $b_n$ сходится.
А если ряд $a_n$ сходится условно, то ряд $b_n$ может как сходиться, так и расходиться?

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group