Неунитарные операторы эволюции

[ИгорЪ]

AlexDem в сообщении #272726 писал(а):

Не, я нашёл, как это примерно делается - здесь (со слов: "Этот гамильтониан имеет важное свойство: он индуцирует переходы только между триплетными подуровнями РП", - где "РП" = "спин-коррелированная радикальная пара"), здесь нестационарное УШ будет вроде, сложно, только путаться.

это не подходит, как впрочем и то что я предлагал.

-- Вс дек 20, 2009 13:56:37 --

AlexDem в сообщении #271953 писал(а):

В данном конкретном примере они не взаимодействуют, иначе мы свойства оператора $F$ не получим. Только в таких точках он и считается, но по этим точкам можно обычный линейный оператор задать ($U_a(a)$). А вот если включить взаимодействие (то есть рассмотреть ряд других примеров с этим же оператором $F$), как раз и получится, что там, где должна получаться нелинейность - она не существует.

Я правильно понял, это ответ на вот это "Кстати, в вашем примере системы невзаимодействующие, это значит, что ни одна ни вторая просто не заметит удаления подруги, так что оператор производит ненаблюдаемые действия"?

И ещё, нелинейность или линейность оператора невозможно определять на переменной, которую он убивает? А у вас так и происходит.

[AlexDem]

ИгорЪ в сообщении #273270 писал(а):

Я правильно понял, это ответ на вот это "Кстати, в вашем примере системы невзаимодействующие, это значит, что ни одна ни вторая просто не заметит удаления подруги, так что оператор производит ненаблюдаемые действия"?

Да, верно, это был ответ. Ведь в примере рассмотрено действие оператора лишь в некоторой точке из множества, на котором он определён. Хотя, действие $\otimes$ тоже не наблюдаемо, поэтому получается, что в той области, где $F = D^{-1}$ - везде он не наблюдаем.

ИгорЪ в сообщении #273270 писал(а):

И ещё, нелинейность или линейность оператора невозможно определять на переменной, которую он убивает? А у вас так и происходит.

Что-то данный сленг мне не знаком. Не могли бы Вы привести пример или ссылку на какое-то более формализованное правило? В моём представлении оператор есть обычная функция в теоретико-множественном смысле, определённая на некотором множестве функций, то есть как подмножество множества упорядоченных пар, такое что <...>. Как функция может убивать множество, на котором определена?

[ИгорЪ]

AlexDem в сообщении #273323 писал(а):

везде он не наблюдаем

тогда причём здесь оператор эволюции?

AlexDem в сообщении #273323 писал(а):

Как функция может убивать множество, на котором определена?

Подмножество. Но если она именно так определена?

[AlexDem]

ИгорЪ в сообщении #273377 писал(а):

тогда причём здесь оператор эволюции?

Просто так сложилось исторически, ведь если система не эволюционировала, то она как распадалась изначально на подсистемы, так и будет. В общем-то, я уже отвечал на этот вопрос:

AlexDem в сообщении #271819 писал(а):

Если оператор эволюции понимать в математическом смысле: $UU^{*} = E$, то у нас здесь скалярное произведение не определено между векторами разной размерности, поэтому сопряжённый оператор $<F^{*}x|y> = <x| Fy>$ для $F$ (когда мы его ещё линейным подразумеваем) определить так просто не получится. В заголовке темы он был назван эволюционным больше по смыслу, когда мы интересуемся какой-то частью полной системы после некоторого времени её эволюции.

ИгорЪ в сообщении #273377 писал(а):

Подмножество. Но если она именно так определена?

Что-то Вы меня заблудили окончательно . Как она определена? Обычно вроде...

-- Вс дек 20, 2009 16:55:13 --

ИгорЪ в сообщении #273377 писал(а):

тогда причём здесь оператор эволюции?

А, я понял - действительно, в первом сообщении темы выкладки сделаны для оператора $FU(c)$, хотя определялся он изначально верно - как просто $F$, возвращающий первый сомножитель разложения вектора в тензорное произведение, когда оно существует. Там это повлияет только на то, что вместо "Исходное состояние $c$ можно переписать в виде" нужно читать "Конечное состояние $c$ можно переписать в виде".

[ИгорЪ]

Так, давайте попробуем переформулируем заново тему. Я пишу своё видение.
Возможно оно не совпадает с вашим. Вы напишите своё, исходя из моего (не)понимания.
Итак, берем две невзаимодействующие подсистемы. Определяем оператор на произведении состояний подсистем так,
что его действие всегда уничтожает состояния второй из подсистем.
1. Поскольку действия оператора ненаблюдаемо, к чему это всё с точки зрения физики?
2. Линейность по уничтожаемому подмножеству $b$ oпределить невозможно, т. к. по определению $F(a\otimes b)=a$.
Ваша нелинейность
$(0,1)=F((0,1)\otimes (1,1))=F((0,1)\otimes (0,1)+(0,1)\otimes (1,0))=2(0,1)$
скрыто использует эту невозможность.
3. Если второе подмножество уничтожается не в "ничто", как до сих пор мы рассматриваем, а в вакуумный вектор: $(0,0)=(0,0)+(0,0)$, то линейность восстанавливается.

[AlexDem]

ИгорЪ, к противоречию мой пример Вы не привели, просто вышли из области определения $F = D^{-1}$, где $F$ можно было рассматривать как линейный, так что последнее равенство в п.2 у Вас неверно (а если действовали в допущении линейности $F$, то ещё раз доказали его нелинейность ).

Что-то внятный ответ пока не складывается, отвечу по готовности, а пока - уточнение. Как Вы определяете операцию $\otimes$ на нулевом векторе? Пусть у нас $a = (0, 1)$ и $b = (0, 0)$, какой вектор будет у составной системы $c$? Как Вы получили восстановление линейности?

[ИгорЪ]

AlexDem в сообщении #273541 писал(а):

ИгорЪ, к противоречию мой пример Вы не привели, просто вышли из области определения $F = D^{-1}$, где $F$ можно было рассматривать как линейный, так что последнее равенство в п.2 у Вас неверно (а если действовали в допущении линейности $F$, то ещё раз доказали его нелинейность ).

Что-то внятный ответ пока не складывается, отвечу по готовности, а пока - уточнение. Как Вы определяете операцию $\otimes$ на нулевом векторе? Пусть у нас $a = (0, 1)$ и $b = (0, 0)$, какой вектор будет у составной системы $c$? Как Вы получили восстановление линейности?

Я писал 2 не с целью показать противоречие, а с целью показать что линейности по второму сомножителю просто нет. А где я вышел из области определения?
Вот $c=a\otimes(0,0)$ такое вот формальное выражение для умножения, определение оператора $F(a\otimesb)=a\otimes(0,0)$ очевидно "вакуумно линейно" по второму множителю ибо сумма вакуумов равен вакууму и умножение вакуума на константу равно вакууму. Просто двойку в конце 2. мы можем загнать в вакуум и равенства восстановятся.
Но я таки не вижу как быть с первым вопросом.

-- Вс дек 20, 2009 23:02:39 --

К первому комменту:нет смысла у попытки определять линейность оператора, вот что я хотел сказать. А у вас вектор в сумму всёж таки разкладывается и возникает иллюзия нелинейности оператора. А он никакой, ни линейный ни нелинейный. Не знаю понятно ли говорю.

[AlexDem]

ИгорЪ в сообщении #273565 писал(а):

А где я вышел из области определения?

$2*(0,1)\otimes(0,1) = (0,0,0,2) = (0,2) \otimes (0,1) = (0,\sqrt 2) \otimes (0,\sqrt 2) = ...$ Нарушено условие нормированности векторов, из-за чего разложение неединственно и равенство писать нельзя.

Насчёт вакуумов - я посмотрю, что там получается, и постараюсь сформулировать ответ на 1-й вопрос. Хотя, если так формально подходить - не думаю, что $FU$ имеет физический смысл как наблюдаемый, а просто $F$ - нет. Мы здесь не оператор ввести пытаемся, а доказать, что нелинейный ввести нельзя вообще никаким физически осмысленным способом - я попробую расписать это потом.

-- Вс дек 20, 2009 22:17:21 --

ИгорЪ в сообщении #273565 писал(а):

К первому комменту:нет смысла у попытки определять линейность оператора, вот что я хотел сказать. А у вас вектор в сумму всёж таки разкладывается и возникает иллюзия нелинейности оператора. А он никакой, ни линейный ни нелинейный. Не знаю понятно ли говорю.

Понятно, Вы здесь билинейность ожидаете на декартовом произведении, по-моему. И размерность пространства пытаетесь фиксировать, хотя тот же интеграл с дифференциалом многочлены гоняют по размерностям и ничего .

[ИгорЪ]

AlexDem в сообщении #273575 писал(а):

Нарушено условие нормированности векторов, из-за чего разложение неединственно и равенство писать нельзя

А разве разложение на произведение обязано быть единственным? По мне тут всё хорошо.

AlexDem в сообщении #273575 писал(а):

Вы здесь билинейность ожидаете на декартовом произведении, по-моему.

Да.

[AlexDem]

ИгорЪ в сообщении #273810 писал(а):

По мне тут всё хорошо.

Да, не жизнь, а сказка - хошь тебе ковёр-самолёт, а хошь - скатерть-самобранка, и делать ничего не надо

[AlexDem]

Не знаю с чего начать. Если начать объяснять азы в этой области, то мы в этом погрязнем - они просты, но писать много... То же разложение вектора в тензорное произведение - проще аналог привести, это как разложение натурального числа на множители - если на простые множители, то разложение единственно (в рассматриваемом здесь контексте; немного в другом контексте это может оказаться интересным, но мы этого пока не касались). А Ваш вакуумный вектор приводит к тому, что может оказаться $U^{-1}Uc \ne (U^{-1}U)c$, то есть Вы нелинейность в $FU$ перекинули из $F$ сразу в $U$. И Вы упорно стремитесь считать $F$ определённым как $F(x, y)$, хотя я определил его как $F(x)$, нам в определении совершенно неважно, разложим ли $x$ в произведение или нет. Там, где разложим - билинейность обеспечена, но есть же много таких $x$, которые неразложимы. Вы поступаете так, как если бы определяли функцию $\sqrt x$ только на произведении $x^2 \in N$ и на том основании не замечали бы остальных чисел из $R$. А ведь здесь и есть главный интерес - на таких $x$ оператор $F$ неопределён. А Вам не захотелось его доопределить, и вычислить этот $\sqrt x$?!

Напомню тезис, который я брался защищать. Я утверждаю, что в рамках формализма КМ невозможно задать никакой нелинейный оператор физически осмысленным способом. То есть - математически мы можем задать любой нелинейный оператор на векторах, но он не будет иметь никакого физического смысла в рамках формализма КМ.

Для доказательства этого тезиса я предоставил оператор, который в классике отвечает за нелинейность - диссипативные системы, то есть системы, каким либо образом рассеивающие энергию, как раз и являются нелинейными в классике. А в квантовой механике мы видим замечательную картину: в той области, где поведение системы можно описыть каким-либо другим линейным оператором, оператор $F$ определён, а в области, гда в классике была бы нелинейность - мы посчитать его не можем! Интересно, правда?

После чего мы можем сделать только два вывода:
1) либо пространство векторов КМ может быть формально расширено (неразложимость векторов аналогична неразложимости простых чисел и в последнем случае решается переходом от целых чисел к вещественным) и это будет иметь физический смысл.
2) либо такое формальное расширение пространства никакого физического смысла иметь не будет, а физическое пространство векторов неизоморфно пространству векторов наблюдателя, то есть тому пространству, которым мы в состоянии манипулировать математически.

Вот. Имеет ли это значение с точки зрения физики? И где там я ещё наврал?

[ИгорЪ]

Я, конечно, отвечал, как студентам. Потому подумаю теперь думу.

[AlexDem]

Угу. Спасибо. Только там мелкие огрехи могут быть (всегда бывают) - например, с линейностью $F = D^{-1}$ - там только при фиксации аргумента линейность, вроде. Больше похоже на некий пучёк линейных функций, я пока сам не до конца сообразил. В общем, примерно как и с интегралом - можно константу выбрать как-нибудь неудобно, и о строгой линейности уже говорить не придётся.

[ИгорЪ]

AlexDem
Я изучаю статью Верлинде http://arxiv.org/abs/1001.0785 , там на основе голографического принципа и эффекта Унру, термодинамическим-энтропийным способом выводятся 2-ой закон Ньютона и закон тяготения (!). Очень интересно и пошёл поток работ на эту тему. Но вот что м.б. вам интересно. Пытаясь разобраться в голографии, наткнулся на информационный парадокс http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1% ... 1%80%D0%B5, где возникают неунитарные преобразования, кроме того у
Саскинда http://arxiv.org/abs/hep-th/0002044 стр.9 также есть нелинейности похожие на ваши. Посмотрите может сверкнет что нибудь, да и так темы оченно любопытные

[AlexDem]

ИгорЪ, спасибо за статьи - я посмотрю, там на странице 9 вроде не сложно , где посмотрел- там речь про No-cloning Theorem. Про AdS/CFT дуальность я читал только популярную статью (в качестве обзорных такие статьи хороши).