универсальные алгебры и конгруэнции

[BapuK]

Есть такая задачка:
Пусть $A$ - универсальная алгебра, $\theta', \theta'' \in Con A$ (решетка конгруэнций на алгебре A), и $\theta = sup \{\theta',\theta''\} $, тогда

$$(a,b)\in\theta\Leftrightarrow\exists a=x_0, x_1,\dots, x_{2n}=b:(x_{2k},x_{2k+1})\in\theta',(x_{2k+1},x_{2k+2})\in\theta'', k=\overline{0,n-1}$$

Достаточный признак доказывается легко по тому факту, что любая когруенция обладает свойством транзитивность, и то что $\theta'$ и $\theta'' \in \theta$
А вот необходимый признак, сколько не штурмовал его не дается он мне и все тут, подскажите в каком направлении думать или каким методом доказывать...

[BapuK]

ни у кого идей даже нет, как доказывать

[bot]

Какой нетерпеливый - просто мало, кто видел. В эквиваленте Вша задача выглядит так: $\theta$ является объединением возрастающей цепочки отношений

$\theta'\cup \theta''\subseteq \theta'\theta''\subseteq \theta'\theta''\theta'\subseteq \theta'\theta''\theta'\theta''\subseteq\theta'\theta''\theta'\theta''\theta'\subseteq \dots$

Если Вы поняли, что $\theta$ содержит объединение этой цепочки, то Ваша проблема либо в определении супремума либо в доказательстве того, что это объединение является конгруенцией.

[BapuK]

ну то что объединение конгруенций это тоже конгруэнция мне понятно, а вот непонятно, то, что после конечного числа шагов цепочки мы получим $\theta$
вообще я сначала пробовал доказывать через идеал мультиоператорного кольца, есть же теорема в которой говорится фактически о том, что для каждой конгруэнции есть свой идеал и для каждого идеала своя конгруэнция, т.е. если $H$- подходящий идеал для $\theta$, то $a=b+h, h \in H$, остается найти такие $h_i'$ и $h_i''$,где $h_i'\in H', h_i'' \in H''$(где $H'$ и $H''$ - подходящие идеалы для $\theta'$ и $\theta''$ соответственно) такие что $h=\sum_{i=1}^{n-1}(h_i'+h_i'')$, ну и мне было непонятно почему найдется конечное число вот етих $h_i'$ и $h_i''$
PS пока писал назрел вопрос: $H' \cup H''$ будет идеалом для $\theta' \cup \theta''$?

[bot]

Кольца здесь совсем не при чём - в этом классе (а также в классе групп и даже квазигрупп конгруенции перестановочны и возрастающая цепочка стабилизируется на первом же произведении $\theta'\theta''$. В кольцах (а также в группах) конгруенция определяется любым своим смежным классом - в кольцах берут идеал (класс содержащий нуль), а в группах - нормальную подгруппу (класс содержащий нейтральный элемент).
В общем случае универсальных алгебр конгруенция не обязана определяться однозначно по какому-либо своему смежному классу и указанная выше возрастающая цепочка не обязана обрываться на конечном шаге. Тем не менее любые $a$ и $b$ сравнимые по $\theta$ сравнимы по некоторому отношению из указанной цепочки - для каждой пары $(a, b)$ номер члена цепочки будет, вообще говоря свой и указать общий для всех в общем случае нельзя.

BapuK в сообщении #272691 писал(а):

ну то что объединение конгруенций это тоже конгруэнция мне понятно

Неверно. Теоретико множественное объединение конгруенций вообще говоря даже не является эквивалентностью - нужно замкнуть по транзитивности, в этом собственно и состоит задача. Транзитивное замыкание и есть объединение указанной бесконечной возрастающей цепочки. В частности, и объединение идеалов кольца будет идеалом только в случае, когда один содержится в другом. То же самое и для соответствующих им конгруенций.

Почитайте лучше Алгебраические системы А.И. Мальцева - судя по ответу у Вас какая-то каша в голове.

[BapuK]

Да я что-то сглупил в предыдущем сообщении) По идее же мы не для каждой алгебры можем так ввести операцию сложения(или же все таки можем?), что она окажется мультиоператорным кольцом, а об объединении конгруэнций и свойстве транзитивности понял немного позже, ну т.е. ход моих мыслей не совсем верен...
ладно, буду думать, почему же в результате такой цепочки мы получим нужную нам конгруенцию...
ну и небольшой вопросик: $\theta'\theta''=\{(a,c)|(a,b)\in\theta',(b,c)\in\theta''\}$ - верно ли я понял?
Спасибо за помощь, если ничего не получится, буду снова задавать вопросы

[bot]

BapuK в сообщении #272784 писал(а):

ну и небольшой вопросик: $\theta'\theta''=\{(a,c)|(a,b)\in\theta',(b,c)\in\theta''\}$ - верно ли я понял?

$\theta_1\theta_2=\{(a,c)\ |\ \exists b \ \big((a,b)\in\theta_1 \& (b,c)\in\theta_2\big)\}$, а ещё лучше вместо $(a,b)\in\theta$ писать $a \theta b$, мы же пишем $1\leqslant 2 $ вместо $(1,2)\in \ \leqslant $. Тогда короче запись будет:

$\theta_1\theta_2=\{(a,c)\ |\ \exists b \ (a\theta_1b\ \& \ b\theta_2c)\}$ или даже так: $\theta_1\theta_2=\{(a,c)\ |\ \exists b \ (a\theta_1b\theta_2c)\}$

Введение новых операций (даже если возможно требуемое) вообще говоря меняют решётку конгруенций, в том числе может уменьшить её мощность.
Оставьте эти глупости - вопрос не простой, а очень простой.

[BapuK]

если $a \theta_1\theta_2 c$(не знаю корректна ли эта запись, но это чисто для краткости), то не факт же, что $c \theta_1 \theta_2 a$, т.е. не обязательно $\exists d : c\theta_1d \ \& \ d \theta_2 a$, но обязательно $c \ \theta_1 \theta_2 \theta_1 \ a$?

[bot]

О господи - не смешите, пожалуйста. У нас ведь $\theta_i\ - \ $ конгруенции, в частности эквивалентности, то есть рефлексивные, симметричные, транзитивные отношения.

[BapuK]

bot в сообщении #272816 писал(а):

У нас ведь $\theta_i\ - \ $ конгруенции, в частности эквивалентности, то есть рефлексивные, симметричные, транзитивные отношения.

с этим согласен, но если $ a \theta_1 \theta_2 c$, то $(a,b) \in \theta_1, (b,c) \in \theta_2 \Rightarrow (b,a) \in \theta_1, (c,b) \in \theta_2 \Rightarrow c \theta_2 \theta_1 a$
разве $\theta_1 \theta_2 = \theta_2 \theta_1$ ? если нет, то $\theta_1 \theta_2$ не является конгруэнцией, дальше мы снова расширяем множество и так мы будем делать до того момента пока не получим конгруенцию?
или я опять несу полную чушь? просто только 2ую неделю изучаю теорию универсальных алгебр

[bot]

Прошу прощения, всё верно было - это у меня, вставая со стула, шляпа слетела. Вот и показалось, что Вы не соглашаетесь с возрастанием цепочки, а возражаете.
Перестановочности конгруенций в общем случае нет и поэтому произведение двух конгруенций не обязано быть конгруенцией - вот и требуется взять наименьшую конгруенцию, содержащую обе.

BapuK в сообщении #272833 писал(а):

дальше мы снова расширяем множество и так мы будем делать до того момента пока не получим конгруенцию?

Именно так и в результате получаем объединение той самой цепочки, только это "пока" на конечном шаге может и не приключиться. На самом деле достаточно взять любую её подцепочку, например через раз, как в условии Вашей задачи.

[BapuK]

bot в сообщении #272965 писал(а):

Именно так и в результате получаем объединение той самой цепочки, только это "пока" на конечном шаге может и не приключиться. На самом деле достаточно взять любую её подцепочку, например через раз, как в условии Вашей задачи.

т.е. мне нужно показать что на каком-то шаге $n$ отношение $\theta_1\theta_2\dots\theta_1\theta_2$ станет искомой нами конгруэнцией, причем $n$ может быть как конечным числом, так и бесконечным? т.е. результатом такой цепочки как раз и будет $sup\{\theta_1,\theta_2\}$?

[bot]

Ну можно и так сказать, хотя и не принято говорить, что что-то чем-то станет на бесконечном шаге. Не могу понять, в чём у Вас проблема? Возьмите конгруенцию, которая содержит обе конгруенции $\theta_1$ и $\theta_2$.
Тогда она должна содержать каждую $(\theta_1\theta_2)^n,\ \ \ n=1,2, ... - $ так?
Следовательно она должна содержать и их объединение - так?
Это объединение является конгруенцией - Вы говорили, что это Вам понятно.

Ну и ... а что такое $sup \{\theta_1, \ \theta_2\}$?

[BapuK]

$\theta = sup\{\theta_1, \theta_2\}$, ну насколько я понимаю это минимальная конгруенция, для которой выполняется $\theta\geqslant\theta_1\&\theta\geqslant\theta_2$, ну или проще говоря $\theta_1\cup\theta_2\subseteq\theta$
все, теперь мне все понятно
спасибо, что помогли разобраться

[bot]

Вот проще говорить лучше не надо, потому что под это проще подходит само объединение, которое конгруенцией не является.