Как считать такой предел?

[big_fizik]

$$\lim_{x\to 0}{\dfrac{{\tg x}\cdot \arcsin(2x)}{{\tg 2x}\cdot \arcsin(x)}$$

Лопиталь не помогает...(((

[Ryabsky]

Любимый Лопиталь всех первокурсников... Не пытайтесь Вы его применять в произведениях, производные от этого только разрастаются.
Вспомните пределы $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$, и непосредственно вытекающий из него $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}$.
А если знакомы со значком $\sim$, то можете и в этих обозначениях работать.

[big_fizik]

Спасибо!
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}=1$

-- Чт дек 17, 2009 23:14:48 --

$$\lim_{x\to 0}{\dfrac{{\tg x}\cdot \arcsin(2x)}{{\tg 2x}\cdot \arcsin(x)}=\lim_{x\to 0}{\dfrac {\tg x}{\tg 2x}\cdot\lim_{x\to 0}{\dfrac{\arcsin 2x}{\arcsin x}}\cdot \dfrac{2x}{2x}=2\cdot\lim_{x\to 0}{\dfrac {(\tg x)'}{(\tg 2x)'}\cdot\lim_{x\to 0}{\dfrac{\arcsin 2x}{\arcsin x}}\cdot \dfrac{x}{2x}$$

$$ =2\cdot \lim_{x\to 0}{\dfrac{\dfrac{1}{\cos^2 x}}{\dfrac{2}{cos^2 x}}\cdot\lim_{x\to 0}{\dfrac{\arcsin 2x}{2x}}\cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\arcsin x}=2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=1$$

Все равно без Лопиталя не обошлось

[Cave]

Поделить числитель и знаменатель на $x^2$ и по отдельности посчитать в них пределы.

[ewert]

big_fizik в сообщении #272567 писал(а):

Все равно без Лопиталя не обошлось

Это потому, что Вы не помните определение тангенса.

[BapuK]

разве не так: $(\tg2x)'=\frac{2}{\cos^22x}$?

[ewert]

Есть формула гораздо лучше: $\tg2x=\dfrac{\sin2x}{\cos2x}$.

[BapuK]

я имел в виду что тс неправильно сократил ^_^

[ewert]

нет, он всё правильно сократил, просто забыл внизу под косинус двоечку всунуть, но кому она нужна.

А вот что ему не следовало делать -- так вообще дифференцировать тангенсы.

[BapuK]

а ну да, чет я забыл что там же еще придел ) да и вообще я непойму че ет все любят так пользоваться правилом лопиталя.. на 1ом курсе, только 1 раз им воспользовался... остальные либо под замечательный придел подгонял либо стандартными соображениями

[bot]

BapuK в сообщении #272716 писал(а):

а ну да, чет я забыл что там же еще придел

Приде́л — пристройка православного храма или специально выделенная часть основного здания для вмещения дополнительного алтаря с престолом.

Маркиз де Лопиталь не был православным и вряд ли мог иметь хоть какое-нибудь представление о приделах.