Для всех тех, у кого несчётность R вызывает сомнения

[infoliokrat]

ewert в сообщении #271134 писал(а):

infoliokrat в сообщении #271118 писал(а):

натуральное в степени натуральное- тоже стчётно.

"натуральные в натуральных степенях" -- безусловно натуральны; просто потому, что они натуральны -- и всё тут. Тут и доказывать нечего, а ежели кто доказывает -- то это лишь ловля блох.

И совсем другое дело -- "натуральный ряд" (сиречь множество натуральных чисел) в своей собственной степени. В теоретико-множественном смысле. Это -- уже совсем другой вопрос.

-- Вс дек 13, 2009 21:50:59 --

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #270857 писал(а):

infoliokrat в сообщении #270831 писал(а):

З павагай

Что это значит? И первое слово какое: цифра "3" или буква "З"?

Он ранее уж расшифровывал. Это -- по-украински. В вольном переводе означает "с почтением".

Если любое N в степени N счётно, то множество счётных множеств ТОЖЕ счётно, даже в обыкновенной математике (с нынездравствующими натуральными, которых не бесконечное количество, а натурально сколь угодно много).
Континуум придумали люди, а теоретико-множественный смысл- тем более (значит это кому-нибудь ..), НО это уже, по инфолиоподходу, а не
"В теоретико-множественном смысле. Это -- уже совсем другой вопрос". З павагай

-- Вт дек 15, 2009 06:13:41 --

ewert в сообщении #270834 писал(а):

infoliokrat в сообщении #270831 писал(а):

, и даже натуральное в степени натуральное тоже счётно.

Увы. Даже два в степени натуральное -- уже несчётно.

Не хотите считать счётным ЕГО счётным- не считайте. Если сосед слева и сосед справа прономерованы, тоя всех таких соседей считаю счётными. (А тае можно даже количество улиц, не только домов или квартир, семей, граждан) РФ и даже РБ считать несчётным (пока сосчитаешь ныне здравствующих, кто-то ...). З павагай

[Someone]

infoliokrat в сообщении #270831 писал(а):

Для каждого числа сопоставим последовательность только из одних 111111111111111
Например, для 1/3, котрая записывается в виде 0,(3), очевидно получится последовательность чисел типа 0,3 0,33 0,333 .... 0,3333333.. каждому из которых естественно будет соответствовать только один набор одинаковых цифр после разделительной ,11111111...

Ничего не понял. Числам $0{,}(01)$ и $0{,}(10)$ какие точно последовательности соответствуют? А числу $\pi$? Выпишите их.

[infoliokrat]

Someone в сообщении #271749 писал(а):

infoliokrat в сообщении #270831 писал(а):

Для каждого числа сопоставим последовательность только из одних 111111111111111
Например, для 1/3, котрая записывается в виде 0,(3), очевидно получится последовательность чисел типа 0,3 0,33 0,333 .... 0,3333333.. каждому из которых естественно будет соответствовать только один набор одинаковых цифр после разделительной ,11111111...

Ничего не понял. Числам $0{,}(01)$ и $0{,}(10)$ какие точно последовательности соответствуют? А числу $\pi$? Выпишите их.

Для каждого числа типа периодического или иррационального необходимо записывать столько единиц после запятой, сколько соответствует числу, которое получится если записать все ЗНАЧАЩИЕ цифры после запятой в обратном порядке.
Если вы не знаете как конкретно записывается 0,(3) или $\pi$? в виде десятичной дроби, то и не знаете сколько единиц вам потребуется.
0,3 = ,111 0,333 = ,333единицы и т.д. Соответственно 0,1=,1 а 0,01 =,1111111111
З павагай

[Someone]

infoliokrat в сообщении #271807 писал(а):

Для каждого числа типа периодического или иррационального необходимо записывать столько единиц после запятой, сколько соответствует числу, которое получится если записать все ЗНАЧАЩИЕ цифры после запятой в обратном порядке.
Если вы не знаете как конкретно записывается 0,(3) или $\pi$? в виде десятичной дроби, то и не знаете сколько единиц вам потребуется.
0,3 = ,111 0,333 = ,333единицы и т.д. Соответственно 0,1=,1 а 0,01 =,1111111111

Всё равно ничего не понял. Я спрашивал про числа $0{,}(01)=0{,}010101010101\ldots$, $0{,}(10)=0{,}101010101010\ldots$ и $\pi=3{,}141592653589\ldots$. Ничего не говорите, просто напишите соответствующие последовательности.

[infoliokrat]

Someone в сообщении #271842 писал(а):

...
Всё равно ничего не понял. Я спрашивал про числа $0{,}(01)=0{,}010101010101\ldots$, $0{,}(10)=0{,}101010101010\ldots$ и $\pi=3{,}141592653589\ldots$. Ничего не говорите, просто напишите соответствующие последовательности.

числа эти запишутся так:
1)$0{,}(01)=0{,}010101010101\ldots$,
0,01 = ,1111111111 или (10)1 или десять единиц слева после разделительной запятой.
0,0101 = ,(1010)1 тысяча десять единиц..
0,010101 = ,(101010) сто одна тысяча десять единиц,
0,01010101= , десять миллионов сто одна тысяча десять единиц и т.д.
2)$0{,}(10)=0{,}101010101010\ldots$
0,1= ,1(одна едининица) 0,101= ,сто одна1 0,10101= ,десять тысяч сто одна1 ,
0,1010101= ,миллион десять тысяч сто одна1 0,101010101= 101млн 010тыс 101одна ед.
и, соответственно
2)$\pi=3{,}141592653589\ldots$. обозначается так:
111,1(единица)
111,сорок одна1
111,пять тыс сто сорок одна1
111,девяносто пять тыс сто сорок одна1
111,ДВЕСТИ девяносто ПЯТЬ тыс сто сорок одна1
....
111, (985млрд 356млн 295тыс 141 единица)
Напомню, запись единичками создана не для удобства вычислений, а для наглядности возможности фальсификации "диагонального метода", причем предыдущее (т.н. сосед слева в перечислении всех чисел от 0 до 1) для числа
$\pi=0{,}141592653589\ldots$ запишется 885млрд 356млн 295тыс 141 единицей а последующее (сосед справа) запишется 95млрд 356млн 295тыс 141 единичкой.
З павагай

[Someone]

infoliokrat в сообщении #271882 писал(а):

числа эти запишутся так:
1)$0{,}(01)=0{,}010101010101\ldots$,
0,01 = ,1111111111 или (10)1 или десять единиц слева после разделительной запятой.
0,0101 = ,(1010)1 тысяча десять единиц..
0,010101 = ,(101010) сто одна тысяча десять единиц,
0,01010101= , десять миллионов сто одна тысяча десять единиц и т.д.

То есть, Вы кодируете числа не конечными последовательностями единиц (и запятых, кстати сказать), а бесконечными последовательностями таких последовательностей. Множество таких бесконечных последовательностей конечных последовательностей имеет мощность континуум.

[infoliokrat]

Someone в сообщении #272102 писал(а):

infoliokrat в сообщении #271882 писал(а):

числа эти запишутся так:
1)$0{,}(01)=0{,}010101010101\ldots$,
0,01 = ,1111111111 или (10)1 или десять единиц слева после разделительной запятой.
0,0101 = ,(1010)1 тысяча десять единиц..
0,010101 = ,(101010) сто одна тысяча десять единиц,
0,01010101= , десять миллионов сто одна тысяча десять единиц и т.д.

То есть, Вы кодируете числа не конечными последовательностями единиц (и запятых, кстати сказать), а бесконечными последовательностями таких последовательностей. Множество таких бесконечных последовательностей конечных последовательностей имеет мощность континуум.

Точно подмечено: не конечными последовательностями единиц (и запятых, ....
Но самое главное, что когда в 1992 году, в качестве пробного текста в текстовом (белорускоязычном !!! с буквой ў, которой даже в IBM в Брестском институте повышения квалификации учителей НЕ было) редакторе RT для школьных компьютеров "Корвет" "надрукаваў гэтакае кадзiраванне", то разработчик редактора (ктн, посоветовавшись з зав каф.) отправил меня в ИМ АН, где профессионал (дфмн) глянул, рассмеялся "Многие континуум считают, но даже двоичного кода бесконечные последовательности несчётные), отдал меня одному аспиранту (высокий, в очках. "Приму" курил), который сразу "диагноз" поставил: у вас натуральных получается бесконечное множество. З павагай

[Ираклий]

"Мухи отдельно, суп отдельно", ладно?

$\mathbb{R}$ - множество вещественных чисел.
$2^\mathbb{N}$ - множество последовательностей из 0 и 1.

Имеется два различных утверждения:
Утверждение 1. $2^\mathbb{N}$ несчетно. (Это и есть теорема Кантора.)
Утверждение 2. $2^\mathbb{N}$ равномощьно $\mathbb{R}$.

Доказательство Утверждения 1 Вы привели в изначальном сообщении. Пытаясь убедить нас в его ошибочности, Вы стали говорить о вещественных числах, но какое отношение они имеют к теореме Кантора, Вы не объяснили. Заметьте: ни само Утверждение 1, ни приведенное Вами его доказательство не содержат ни слова про множество вещественных чисел. Так что пока что Ваше обоснование неверности приведенного Вами доказательства Утверждения 1 не состоятельно.

Доказательство Утверждения 2 носит чисто технический характер и не представляет труда. Если Вы согласитесь, что приведенное Вами доказательство Утверждения 1 верно, то я буду готов более подробно обсудить доказательство Утверждения 2 (если в этом есть необходимость).

[infoliokrat]

Ираклий в сообщении #272283 писал(а):

"Мухи отдельно, суп отдельно", ладно?

$\mathbb{R}$ - множество вещественных чисел.
$2^\mathbb{N}$ - множество последовательностей из 0 и 1.

Имеется два различных утверждения:
Утверждение 1. $2^\mathbb{N}$ несчетно. (Это и есть теорема Кантора.)
Утверждение 2. $2^\mathbb{N}$ равномощьно $\mathbb{R}$.

Доказательство Утверждения 1 Вы привели в изначальном сообщении. Пытаясь убедить нас в его ошибочности, Вы стали говорить о вещественных числах, но какое отношение они имеют к теореме Кантора, Вы не объяснили. Заметьте: ни само Утверждение 1, ни приведенное Вами его доказательство не содержат ни слова про множество вещественных чисел. Так что пока что Ваше обоснование неверности приведенного Вами доказательства Утверждения 1 не состоятельно.

Доказательство Утверждения 2 носит чисто технический характер и не представляет труда. Если Вы согласитесь, что приведенное Вами доказательство Утверждения 1 верно, то я буду готов более подробно обсудить доказательство Утверждения 2 (если в этом есть необходимость).

А можно попытаться рассмотреть НЕ "Мухи отдельно, суп отдельно", а только "муху(в супе)" , ладно? Т.е. доказать счётность, что
1. $2^\mathbb{N}$ счетно. Для этого понадобится только предположить, что натуральных чисел не N, а именно $2^\mathbb{N}$ или $N^\mathbb{N}$ "штук"? Т.е. больше, чем N?
Ведь математик (арифметик) может быть не 2, как сейчас, а ТРИ!
Имею ввиду, что есть "математика калькулятора", где каждый может набрать самое большое целое число (где наибольшее N определяется разрядностью калькулятора) или самое маленькое, не равное нулю. Например:
1)все числа, которые можем увидеть на индикаторе самого мощного калькулятора (не компьютера!) ограничены: если к самому большому числу добавить его, то будет ERROR, а если самое маленькое разделить на 2, то будет 0.
2)это обычная, классическая математика, в которой натуральных сколь угодно много, но не бесконечно.
3)математика1 или 1математика, в которой натуральных "хватает" для "всевозможных кардиналов". Пока не будем упоминать о гипотетической дискретности ВСЕГО мыслимого и немыслимого, рационального и иррационального... (Ну есть же ТРИ геометрии и никого это не шокирует).
А тогда и "чисто техническое утверждение 2" будет поинтереснее доказывать Вам, точнее "Вам доказывать его нам", неверующим в безошибочность диагонального метода. З павагай

[Ираклий]

infoliokrat в сообщении #272319 писал(а):

$2^\mathbb{N}$ счетно.

Правильно ли я понял Ваше предложение: Вы мне приведете доказательство этого факта, а мне предлагается искать в нем ошибку? Если так, то я пас: имею некоторый опыт и могу сказать, что подобные "доказательства" относятся к разделу БСК и пытаться указывать автору подобного текста на ошибки в нем - дело совершенно неблагодарное.

Я согласен, ежели это подходит, на такой режим: доказательство теоремы Кантора приведено в заглавном сообщении, готов парировать все возможные нападки на это доказательство. (Те нападки, что содержатся в самом заглавном сообщении, я уже парировал: Cosinus говорит что-то про вещественные числа в то время, как теорема Кантора в указанной формулировке вообще никакого отношения к вещественным числам не имеет, равно как и ее доказательство.)

infoliokrat в сообщении #272319 писал(а):

Ведь математик (арифметик) может быть не 2, как сейчас, а ТРИ!

Различных теорий можно придумать весьма много, не спорю. Не ясно, к чему Вы это говорите. Теорема Кантора - это теорема ZF (теории множеств Цермело-Френкеля). В какой-то другой теории, согласен, теорема Кантора может быть не верна. Например, она в NF не верна в наиболее общей своей формулировке (хотя верна несколько измененная ее версия).

infoliokrat в сообщении #272319 писал(а):

А тогда и "чисто техническое утверждение 2" будет поинтереснее доказывать Вам, точнее "Вам доказывать его нам", неверующим в безошибочность диагонального метода.

Повторюсь: я готов доказать Утверждение 2. Но как только (и если) с Утверждением 1 (теоремой Кантора) наступит полное взаимопонимание. Кстати, доказательство Утверждения 2 никак не связано с диагональным методом.

[Tigran]

Учитываете ли Вы тот факт, что к такого рода вопросам можно подойти с позиций теории синтеза объектов, которая возникла не так давно как одно из направлений развития объектной концепции?
Любое множество является объектом, следовательно, можно указать алгоритм его формирования (построения), и если посмотреть на эту проблему с этих позиций (основа - теория алгоритмов), то велика вероятность, что несчетных множеств вообще нет... Если желаете, можем подискутировать...

[Ираклий]

Tigran в сообщении #272437 писал(а):

Учитываете ли Вы тот факт, что к такого рода вопросам можно подойти с позиций теории синтеза объектов, которая возникла не так давно как одно из направлений развития объектной концепции?

Не слышал про такую. Дадите ссылку?

Tigran в сообщении #272437 писал(а):

Любое множество является объектом, следовательно, можно указать алгоритм его формирования

Это больше всего похоже на конструктивную логику.

Tigran в сообщении #272437 писал(а):

если посмотреть на эту проблему с этих позиций (основа - теория алгоритмов), то велика вероятность, что несчетных множеств вообще нет...

Я не спорю, что в какой-то формальной теории, основанной на алгоритмичности, несчетных множеств может не быть. Однако в данной теме, как я понимаю, речь идет о классической теории множеств.

[shwedka]

Tigran в сообщении #272437 писал(а):

то велика вероятность, что несчетных множеств вообще нет

Не сочтите за труд рассказать, хотя бы вкратце, как Вы эту вероятность считали.

[Профессор Снэйп]

shwedka в сообщении #272511 писал(а):

Не сочтите за труд рассказать, хотя бы вкратце, как Вы эту вероятность считали.

+ 1

Ираклий в сообщении #272495 писал(а):

Я не спорю, что в какой-то формальной теории, основанной на алгоритмичности, несчетных множеств может не быть.

Нам лектор по вычметодам заявлял буквально следующее: "Одно из основных математичских открытий XX века заключается в том, что множество действительных чисел конечно"

С точки зрения компьютера это, безусловно, так Сколько у кого в компе чисел с плавающей точкой?

[ewert]

Примерно $2^{80}$ (или $2^{79}$, если старший разряд мантиссы тоже хранится -- не помню)