Интересная функция.

[Руст]

Пусть $S$ объединение интервалов $(0,1),(2,\infty)$. Определим функцию $f:S\to S$ по формуле:

$$f(x)=\sqrt{\frac{x^2-4}{x^2-1}.$$

Доказать следующие свойства:
1) $f(f(x))=x$,
2) $xy=2$ тогда и только тогда, когда $f(x)f(y)=2$.
3) Если $x$ рациональное, то $f(x)$ иррациональное.
4) Если $x,y,f(x)f(y)$ рациональные, то $xy=f(x)f(y)=2$.
Я не знаю решения последней.

[covax]

А чему равно, например, $f(3)$? Или я что-то не понял, или в условии ошибка.

[Руст]

Прошу прощения, исправил. Вначале хотел писать $f(x)=g^{(-1)}(\phi (g(x)))$ с $\phi (x)=\frac{x-4}{x-1}, g(x)=x^2$.

[covax]

Перебором нашел, думаю там много: $f(\frac1{13})\cdot f(\frac{10}{11}) = \frac{60}{7}$

1. (2, 1) : (1, 5) 
2. (3, 1) : (2, 35) 
3. (3, 2) : (2, 5) 
4. (5, 1) : (2, 33) 
5. (5, 2) : (2, 7) 
6. (5, 3) : (1, 91) 
7. (5, 4) : (3, 7) 
8. (7, 1) : (1, 65) 
9. (7, 2) : (1, 15) 
10. (7, 3) : (10, 187) 
11. (7, 4) : (11, 15) 
12. (7, 5) : (2, 57) 
13. (7, 6) : (10, 13) 
14. (9, 1) : (5, 323) 
15. (9, 2) : (5, 77) 
16. (9, 4) : (65, 77) 
17. (9, 5) : (14, 299) 
18. (9, 7) : (2, 11) 
19. (9, 8) : (17, 65) 
20. (11, 1) : (10, 161) 
21. (11, 2) : (10, 39) 
22. (11, 3) : (7, 19) 
23. (11, 4) : (35, 39) 
24. (11, 5) : (2, 17) 
25. (11, 6) : (7, 85) 
26. (11, 7) : (6, 145) 
27. (11, 8) : (19, 35) 
28. (11, 9) : (10, 403) 
29. (11, 10) : (2, 7) 
30. (13, 1) : (1, 14) 
31. (13, 2) : (14, 55) 
32. (13, 3) : (10, 667) 
33. (13, 4) : (51, 55) 
34. (13, 5) : (3, 217) 
35. (13, 6) : (10, 133) 
36. (13, 7) : (10, 209) 
37. (13, 8) : (35, 51) 
38. (13, 9) : (22, 595) 
39. (13, 10) : (3, 23) 
40. (13, 11) : (1, 185) 
41. (13, 12) : (1, 133) 
42. (17, 1) : (6, 385) 
43. (17, 2) : (6, 95) 
44. (17, 3) : (70, 1147) 
45. (17, 4) : (91, 95) 
46. (17, 5) : (22, 377) 
47. (17, 6) : (70, 253) 
48. (17, 7) : (5, 41) 
49. (17, 8) : (3, 91) 
50. (17, 9) : (13, 43) 
51. (17, 10) : (7, 22) 
52. (17, 11) : (14, 345) 
53. (17, 12) : (145, 253) 
54. (17, 13) : (10, 329) 
55. (17, 14) : (5, 31) 
56. (17, 15) : (1, 19) 
57. (17, 16) : (3, 11) 
58. (19, 1) : (30, 481) 
59. (19, 2) : (30, 119) 
60. (19, 3) : (22, 1435) 
61. (19, 4) : (115, 119) 
62. (19, 5) : (7, 473) 
63. (19, 6) : (13, 22) 
64. (19, 7) : (26, 465) 
65. (19, 8) : (11, 115) 
66. (19, 9) : (70, 1363) 
67. (19, 10) : (7, 87) 
68. (19, 11) : (1, 5) 
69. (19, 12) : (13, 217) 
70. (19, 13) : (1, 17) 
71. (19, 14) : (26, 55) 
72. (19, 15) : (34, 1219) 
73. (19, 16) : (11, 35) 
74. (19, 17) : (6, 385) 
75. (19, 18) : (37, 70) 
76. (23, 1) : (11, 705) 
77. (23, 2) : (7, 11) 
78. (23, 3) : (43, 130) 
79. (23, 4) : (7, 19) 
80. (23, 5) : (42, 697) 
81. (23, 6) : (130, 493) 
82. (23, 7) : (10, 689) 
83. (23, 8) : (19, 155) 
84. (23, 9) : (7, 2035) 
85. (23, 10) : (42, 143) 
86. (23, 11) : (34, 665) 
87. (23, 12) : (385, 493) 
88. (23, 13) : (30, 649) 
89. (23, 14) : (10, 111) 
90. (23, 15) : (19, 1891) 
91. (23, 16) : (91, 155) 
92. (23, 17) : (5, 609) 
93. (23, 18) : (7, 205) 
94. (23, 19) : (14, 65) 
95. (23, 20) : (43, 143) 
96. (23, 21) : (22, 67) 
97. (23, 22) : (15, 34) 
98. (25, 1) : (13, 17) 
99. (25, 2) : (13, 23) 
100. (25, 3) : (154, 2491) 
101. (25, 4) : (23, 203) 
102. (25, 6) : (154, 589) 
103. (25, 7) : (3, 817) 
104. (25, 8) : (187, 203) 
105. (25, 9) : (34, 2419) 
106. (25, 11) : (42, 793) 
107. (25, 12) : (481, 589) 
108. (25, 13) : (38, 777) 
109. (25, 14) : (3, 143) 
110. (25, 16) : (123, 187) 
111. (25, 17) : (7, 737) 
112. (25, 18) : (34, 301) 
113. (25, 19) : (22, 713) 
114. (25, 21) : (46, 2059) 
115. (25, 22) : (42, 47) 
116. (25, 23) : (2, 73) 
117. (25, 24) : (1, 481) 
118. (29, 1) : (70, 1121) 
119. (29, 2) : (31, 70) 
120. (29, 3) : (13, 3355) 
121. (29, 4) : (11, 31) 
122. (29, 5) : (17, 1113) 
123. (29, 6) : (13, 805) 
124. (29, 7) : (66, 1105) 
125. (29, 8) : (11, 259) 
126. (29, 9) : (67, 190) 
127. (29, 10) : (17, 247) 
128. (29, 11) : (15, 1081) 
129. (29, 12) : (697, 805) 
130. (29, 13) : (14, 1065) 
131. (29, 14) : (66, 215) 
132. (29, 15) : (154, 3139) 
133. (29, 16) : (195, 259) 
134. (29, 17) : (41, 46) 
135. (29, 18) : (190, 517) 
136. (29, 19) : (10, 1001) 
137. (29, 20) : (3, 247) 
138. (29, 21) : (1, 2923) 
139. (29, 22) : (15, 119) 
140. (29, 23) : (26, 105) 
141. (29, 24) : (265, 697) 
142. (29, 25) : (2, 913) 
143. (29, 26) : (14, 55) 
144. (29, 27) : (7, 2635) 
145. (29, 28) : (19, 215) 

Слева пара $(n,m) \to \frac mn$, справа числитель и знаменатель дроби под корнем, после небольших сокращений и удаления квадратов, можно еще, наверное, пары подобрать.

[Руст]

Спасибо, вы опровергли мое предположение, которое я пытался доказать и не сумел. По видимому верно менее общее утверждение,
4) если $x,y,f(x)f(y)$ рациональные и $xy=n$, и если $n$ натуральное, то $n=2$. Для ненатурального вы нашли опровержение.

[covax]

1. 2,5 : 3/1,2/3,13/67 
2. 5 : 4/1,1/2,38/11,11/19 
3. 2,7 : 5/1,26/1,2/5,11/5,10/11,1/13,47/61 
4. 5,7,11 : 9/1,8/3,3/4,19/8,2/9,16/19 
5. 2,3,11 : 10/1,1/5,62/13,13/31,95/97 
6. 2,3,5,13 : 11/1,2/11,47/17,34/47 
7. 5,7,11,13 : 12/1,9/2,1/6,4/9,73/31,62/73 
8. 2,5,7,11 : 13/1,2/13,29/13,26/29,37/103 
9. 3,5,7,17 : 16/1,13/4,1/8,29/11,8/13,22/29,61/29,88/37,37/44,58/61 
10. 2,3,5,19 : 17/1,2/17,71/109 
11. 5,13,29 : 28/1,76/11,1/14,11/38 
12. 5,7,17,31 : 33/1,58/27,27/29,2/33 
13. 2,3,5,7,11 : 34/1,1/17,38/17,17/19 
14. 2,3,5,7,13,19 : 37/1,41/11,106/11,2/37,22/41,89/41,11/53,53/59,82/89 
15. 3,5,7,23,43 : 44/1,52/17,1/22,17/26 
16. 2,17,47 : 49/1,61/7,2/49,14/61 
17. 13,17 : 50/1,44/5,20/7,7/10,28/11,11/14,5/22,1/25,86/35,35/43,73/74 
18. 2,5,7,11,13,53 : 54/1,1/27,23/83,87/89 
19. 5,11,19,29 : 56/1,1/28,31/89 
20. 3,5,7,11,13,31 : 64/1,47/8,1/32,16/47 
21. 2,5,11,13,17,23 : 67/1,2/67,43/89 
22. 3,37,71 : 73/1,80/31,31/40,2/73 
23. 5,7,11,19,79 : 78/1,1/39,107/51,102/107 
24. 2,3,5,7,11,13 : 79/1,43/17,34/43,2/79 
25. 3,5,7,11,13,29 : 89/1,2/89,59/101,101/109 
26. 5,7,17,23 : 19/2,43/13,4/19,26/43,79/82,67/94 
27. 7,19 : 23/2,22/3,13/6,3/11,12/13,4/23 
28. 5,7,29,31,37 : 33/2,4/33,53/82 
29. 2,5,11,17 : 14/3,3/7,41/7,43/21,71/27,14/41,42/43,54/71,9/89 
30. 5,11,13,19 : 16/3,3/8,96/47,47/48 
31. 5,7,13,23 : 29/3,31/4,24/11,11/12,6/29,8/31 
32. 5,7,13,19,29 : 32/3,47/9,3/16,101/44,18/47,88/101 
33. 5,23,37 : 43/3,82/33,33/41,6/43 
34. 5,11,23,29 : 52/3,17/6,12/17,3/26 
35. 5,7,13,31,53 : 59/3,44/9,9/22,6/59 
36. 2,7,11,13,97 : 94/3,3/47,89/93 
37. 5,13,17 : 9/4,8/9,33/16,62/23,23/31,32/33 
38. 7,11,37 : 29/4,32/5,5/16,8/29,89/100 
39. 3,5,11,29,41 : 37/4,64/23,23/32,8/37 
40. 5,7,31,43,47 : 39/4,8/39,41/88 
41. 5,11,13,17,43 : 47/4,8/47,37/92 
42. 3,5,19,61 : 53/4,104/43,43/52,8/53,7/88 
43. 3,7,67,79 : 71/4,8/71,31/103 
44. 7,11,17 : 12/5,5/6,52/25,25/26 
45. 2,3,19 : 14/5,5/7,25/73 
46. 7,17,19,29 : 24/5,5/12,97/39,78/97 
47. 11,59 : 54/5,43/16,5/27,32/43 
48. 11,13,31,73 : 83/5,53/20,40/53,10/83 
49. 3,7,11,13,17,19 : 109/5,41/92,10/109 
50. 7,13,31 : 19/6,12/19,61/30,60/61 
51. 5,11,31,37 : 43/6,12/43,7/81 
52. 2,3,5,29 : 22/7,7/11,79/83 
53. 5,41 : 34/7,28/13,13/14,7/17 
54. 2,17,89 : 82/7,70/19,19/35,7/41 
55. 3,5,11,13,89 : 103/7,61/28,56/61,14/103 
56. 5,7,11,19,43 : 27/8,31/12,16/27,24/31,94/39,39/47,13/101 
57. 5,11,13,19,41 : 49/8,67/28,16/49,56/67 
58. 3,19,73 : 65/8,41/16,32/41,16/65 
59. 2,7,17,43 : 25/9,97/11,30/13,13/15,18/25,22/97 
60. 7,23,41 : 32/9,9/16,81/40,80/81 
61. 5,7,11,37 : 46/9,71/17,9/23,34/71 
62. 2,5,7,11,13,41 : 73/9,103/51,18/73,102/103 
63. 2,3,5,17 : 23/11,83/19,22/23,11/79,38/83 
64. 5,7,13,37,59 : 48/11,11/24,64/27,27/32 
65. 3,5,7,37,41 : 52/11,11/26,61/62,47/79 
66. 2,5,7,17,73 : 62/11,47/13,11/31,103/43,26/47,86/103 
67. 2,5,31,41 : 71/11,67/13,1/61,26/67,22/71,83/103 
68. 2,3,5,7,13,17 : 74/11,11/37,82/37,37/41 
69. 97 : 86/11,73/24,11/43,48/73 
70. 2,3,5,19,23 : 103/11,107/31,22/103,62/107 
71. 13,37 : 25/12,24/25,107/109 
72. 5,23,31 : 36/13,13/18,71/22,44/71 
73. 3,5,7,11,47 : 68/13,73/26,13/34,52/73 
74. 2,23,41 : 95/13,58/17,73/25,17/29,50/73,26/95 
75. 3,5,13,17,23 : 37/14,28/37,77/38,76/77 
76. 2,7,11,13,67 : 37/15,30/37,93/41,82/93 
77. 3,5,7,11,29,31 : 61/16,104/41,41/52,32/61 
78. 5,13,61 : 44/17,17/22,59/62 
79. 5,7,23,29 : 104/17,17/52,41/64,67/68 
80. 5,7,13,37,71 : 108/17,99/43,17/54,86/99 
81. 5,11,13,29,83 : 47/18,36/47,31/57 
82. 2,5,7,11,13 : 58/19,19/29,62/29,29/31 
83. 3,7,17,23,31 : 100/19,19/50,59/110 
84. 5,7,83 : 102/19,19/51,53/68 
85. 3,47,61 : 101/20,97/25,50/97,40/101 
86. 2,3,5,7,13 : 58/23,23/29,94/31,31/47 
87. 5,29,73 : 97/24,37/91,48/97 
88. 3,7,11,17,23 : 94/25,25/47,31/65,65/71,61/107 
89. 37,41,73 : 98/25,76/35,35/38,25/49 
90. 13,23,131 : 77/27,54/77,79/105 
91. 5,17,29,113 : 57/28,81/32,56/57,64/81 
92. 2,3,5,17,29,61 : 91/31,49/67,62/91 
93. 5,7,11,41,61 : 92/31,31/46,13/109 
94. 5,11,67 : 101/34,51/59,68/101 
95. 5,7,17,23,53 : 89/36,72/89,73/96 
96. 5,11,53 : 94/41,41/47,17/71 
97. 5,89 : 92/43,43/46,77/83,71/98 
98. 5,7,13,19,29,157 : 111/46,33/62,92/111 
99. 5,7,11,23,107 : 108/53,53/54,41/74 
100. 5,17,89 : 31/58,83/86,73/97 

Слева - корни, справа $x$, из которых это получается, произведение любых двух дробей из одной строчки будет рациональным.
Например, по первой строчке, $f(3/1)=\frac ab\cdot\sqrt{2\cdot5}$.
В третьей строчке, $f(\frac{11}{5})\cdot f(5)=\frac{7}{16}$, $f(26)\cdot f(5)$ тоже получится рациональное, дальше не успел, завтра могу посчитать числа побольше.

[covax]

Упало ночью с out of memory
Вот тут все $\frac mn$, где $m,n < 3000$.

1. 11 = 5 * 11/5 
2. 24 = 9 * 8/3 
3. 29 = 13 * 29/13 
4. 35 = 50 * 7/10 
5. 52 = 16 * 13/4 
6. 54 = 12 * 9/2 
7. 76 = 34 * 38/17 
8. 130 = 5 * 26 
9. 137 = 16 * 137/16 
10. 199 = 89 * 199/89 
11. 376 = 64 * 47/8 
12. 376 = 517/5 * 40/11 
13. 427 = 49 * 61/7 
14. 440 = 50 * 44/5 
15. 521 = 233 * 521/233 
16. 1272 = 288 * 53/12 
17. 1364 = 610 * 682/305 
18. 51729 = 2807 * 129/7 

Если брать $f(x)\cdot f(y)$ рациональным, а не целым, получается около 35000 пар чисел.
Причем, они как-то "порциями" идут, например

1. 1312/5311 = 16/47 * 82/113 
2. 3824/5311 = 16/47 * 239/113 
3. 3616/11233 = 16/47 * 226/239 
4. 22144/15557 = 16/47 * 1384/331 
5. 4604/5123 = 16/47 * 1151/436 
6. 1324/8131 = 16/47 * 331/692 
7. 13952/54097 = 16/47 * 872/1151 
8. 19598/12769 = 82/113 * 239/113 
9. 164/239 = 82/113 * 226/239 
10. 113488/37403 = 82/113 * 1384/331 
11. 47191/24634 = 82/113 * 1151/436 
12. 13571/39098 = 82/113 * 331/692 
13. 71504/130063 = 82/113 * 872/1151 

Возможно как-то параметрически можно это задать.