уравнения в целых числах

[maxmatem]

$x^{4}_{1}+x^{4}_{2}+x^{4}_{3}+x^{4}_{4}=2009$
надо решить в целых числах! у меня подозрения что решений нет! но у меня очьнь малый опыт решения ур-й в целых числах.намекните как начать

[gris]

Во-первых, можно решать в целых неотрицательных. Во-вторых, подходит всего 7 и можно вручную перебрать.
Но самое главное - 2009 уже не актуально.

[jetyb]

Здесь множество подходящих значений иксов очень ограничено. Рассмотрите все цифры, на которые может оканчиваться $x^4$, и переберите все варианты.

[maxmatem]

Gris! надо решить в целых положительных! а кроме перебора как?

-- Чт дек 10, 2009 21:44:00 --

в каком смысле все цифры на которые оканчивается $x^{4}$ ?
я посмотрел что числа от 1 до 9 в 4-степени оканчиваются на 1,5,6! как теперь исходя из этого находить решения! можно ли определить их кол-во? а подбором как-то даже первую четвёрку подобрать немогу!

-- Чт дек 10, 2009 22:05:52 --

gris намекните как подбор произвести

[Sonic86]

maxmatem писал(а):

намекните как подбор произвести

Подставьте все возможные $x_4$ так, чтобы в получающихся уравнениях была неотрицательная правая часть. Получите несколько уравнений, но уже с 3-я переменными. То же сделайте для $x_3$, потом для $x_2$.
Это если перебором.
Интересно было бы узнать, как это решается в общем случае.

[ewert]

maxmatem в сообщении #270026 писал(а):

я посмотрел что числа от 1 до 9 в 4-степени оканчиваются на 1,5,6!

И только два варианта сумм таких цифр оканчивается на девятку. Перебор сокращается до минимума (формально: $3^3\cdot2+2^3\cdot3=78$ вариантов, но почти все они явно не подходят по масштабу).

Ответ: решений нет.

[Батороев]

$2009\equiv 9 \pmod {16}$
$a_i^4\equiv 0; 1 \pmod {16}$
Т.е. набрать остаток $ 9\pmod {16}$ с четырех чисел не получится.

То же касается и числа $2010$, с коим Наступающим всех и поздравляю!

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

То есть, чтобы рассуждать про последнюю цифру в записи, надо всё в шестнадцатеричной системе записывать! Вот это я понимаю задача для программистов!

[Батороев]

Профессор Снэйп в сообщении #270287 писал(а):

(Оффтоп)

То есть, чтобы рассуждать про последнюю цифру в записи, надо всё в шестнадцатеричной системе записывать! Вот это я понимаю задача для программистов!

Не обязательно переходить в шестнадцатеричную систему.
Достаточно рассмотреть четыре последних знака в двоичной:

$2009_{10}=.....1001_2$

$a_i^4=....0000_2; ....0001_2$

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

Батороев в сообщении #270323 писал(а):

Не обязательно переходить в шестнадцатеричную систему.
Достаточно рассмотреть четыре последних знака в двоичной

Так ведь это то же самое!

[Батороев]

Конечно, то же самое. Только остатки по основанию 16 выражены в двоичной системе.

Топик-стартеру для закрепления материала:
$a_1^6+a_2^6=2010$

[Профессор Снэйп]

Батороев, а как Вы угадали, что надо рассматривать остатки от деления именно на $16$? Сказался Ваш богатый опыт вычислений в шестнадцатеричной системе или что-то другое?

[Батороев]

Сказался небольшой опыт рассмотрения остатков степеней чисел по различным основаниям (опыт ферматиста ).