Система линейных дифференциальных уравнений

[invisible1]

Нужно решить матричным способом.
$x'=-x-10y$
$y'=2x+3y$

Ввиду того, что получились комплексные собственные числа.. не очевидно как записывать ответ...

$det\begin{pmatrix}-1-\lambda&-10 \\ 2&3-\lambda\end{pmatrix}=0$
${\lambda}^2-2\lambda+17=0$
$\lambda=1 \pm 4i$

1)$\lambda_1=1 + 4i$
$\begin{pmatrix}-1-(1 + 4i)&-10 &|0 \\ 2&3-(1 + 4i)&|0\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}-(2 + 4i)&-10 &|0 \\ 2&(2 - 4i)&|0\end{pmatrix}$

Домножая первую строчку на $2-4i$, получаем
$\begin{pmatrix}-20&-10(2-4i) &|0 \\ 2&(2 - 4i)&|0\end{pmatrix}$
Остается $\begin{pmatrix}1 & 1-2i|0 \end{pmatrix}$
Собственный вектор
$\vec x_1 = \begin{pmatrix} 1-2i\\-1 \end{pmatrix}$

Аналогично находим
$$\lambda_2=1 - 4i$
$\vec x_2 = \begin{pmatrix} 1+2i\\-1 \end{pmatrix}$

[ewert]

Действуйте тупо в лоб:

$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=A\cdot \vec b\,e^{\lambda t}+B\cdot \overline{\vec b\,e^{\lambda t}},$$

где $\lambda$ -- одно из собственных чисел; $\vec b$ -- отвечающий ему собственный вектор; $A,\ B$ -- произвольные постоянные (комплексные) и черта означает комплексное сопряжение. Решение вещественно тогда и только тогда, когда второе слагаемое сопряжено первому, т.е. когда $A=\overline B=C_1+C_2i$, где $C_1$, $C_2$ -- вещественные произвольные постоянные:

$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=e^t\cdot\mathop{\mathrm{Re}}\left[(C_1+C_2\,i)\,\begin{pmatrix}1-2i\\ -1\end{pmatrix}\,(\cos4t+i\,\sin4t)\right].$$

Расписывайте покоординатно и раскрывайте скобки, обращая внимание только на вещественные слагаемые.

------------------------------------------------------------
Поправка: надо $A=\overline B={1\over2}(C_1+C_2\,i)$, но это не имеет значения.

[invisible1]

$ \left\{ \begin{array}{l} x=e^t\cdot\mathop{\mathrm{Re}}[(C_1+C_2i)(1-2i)(\cos 4t + i\sin 4t)]\\ y=e^t\cdot\mathop{\mathrm{Re}}[(C_1+C_2i)(-1)(\cos 4t + i\sin 4t)]\\ \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{l} x=e^t\cdot\mathop{\mathrm{Re}}[(C_1+C_2i-2iC_1+2C_2)(\cos 4t + i\sin 4t)]\\ y=e^t\cdot(C_2\sin 4t -C_1\cos 4t)\\ \end{array} \right $

$ \left\{ \begin{array}{l} x=e^t\cdot[(C_1+2C_2)\cos 4t + (2C_1-C_2)\sin 4t)\\ y=e^t\cdot(C_2\sin 4t -C_1\cos 4t)\\ \end{array} \right $

[ewert]

Теперь вроде верно.

[invisible1]

Спасибо!

Цитата:

$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=A\cdot \vec b\,e^{\lambda t}+B\cdot \overline{\vec b\,e^{\lambda t}},$$

Ведь над $B$ тоже нужно комплексное сопряжение...

Цитата:

Решение вещественно тогда и только тогда, когда второе слагаемое сопряжено первому

Ммм... это только в этом случае?
Вот, например есть 2 комплексных числа
$z_1=x_1+iy_1$
$z_2=x_2+iy_2$
Их сумма $z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$ - вещественна, когда $y_1+y_2=0$ , то есть мнимые части равны, но имеют разные знаки, но ведь вещественные части не обязаны быть равны (хотелось бы правильно запомнить!)
А почему решение должно быть вещественно?!

[ewert]

invisible1 в сообщении #267958 писал(а):

Ведь над $B$ тоже нужно комплексное сопряжение...

А смысл? Она ж ведь пока -- произвольная. Да и логика не в этом, а -- что если есть некоторое решение (существенно комплексное), то сопряжённое к нему тоже будет решением, причём линейно независимым с первым и, следовательно,образующим с ним базис.

invisible1 в сообщении #267958 писал(а):

Ммм... это только в этом случае?

Угу. Если представить вторую константу как $B=\overline A+D$, то сумма слагаемых с $A$ и с $\overline A$ даст вещественное выражение, а чистая экспонента с $D$ (если та ненулевая) -- заведомо комплексное. Ведь показатель-то той экспоненты -- невещественен.

invisible1 в сообщении #267958 писал(а):

А почему решение должно быть вещественно?!

Что значит "должно". Можно искать общее комплексное решение, и тогда на самой первой строчке и надо остановиться. А можно -- общее вещественное, раз уж исходная задача вещественна.

[invisible1]

Цитата:

Что значит "должно". Можно искать общее комплексное решение, и тогда на самой первой строчке и надо остановиться. А можно -- общее вещественное, раз уж исходная задача вещественна.

Т.е. если коэффициенты вещественные, то, если решение существует, то оно вещественно?!

[ewert]

Дело в том, что есть общая теорема: множество решений системы из $n$ линейных уравнений первого порядка всегда есть линейное пространство размерности $n$.

И эта теорема совершенно не зависит от того, над каким полем ставится задача -- над комплексным или вещественным.

Если в уравнениях коэффициенты вещественны -- значит, можно применять эту теорему для вещественнозначных функций. Но никто не в силах запретить применить её и к комплекснозначным, поскольку вещественные числа -- это частный случай комплексных.

[invisible1]

Решил еще методом исключения...Ответ другой
$ \left\{ \begin{array}{l} x'=-x-10y\\ y'=2x+3y\\ \end{array} \right $

Из второго уравнения

$$x=\dfrac{y'-3y}{2}=\dfrac{1}{2}y'-\dfrac{3}{2}y$$

$$x'=\dfrac{1}{2}y''-\dfrac{3}{2}y'$$

Подставляя в первое

$$\dfrac{1}{2}y''-\dfrac{3}{2}y'=-(\dfrac{1}{2}y'-\dfrac{3}{2}y)-10y$$

$$\dfrac{1}{2}y''-\dfrac{3}{2}y'+\dfrac{1}{2}y'-\dfrac{3}{2}y+10y=0$$

$$\dfrac{1}{2}y''-y'-\dfrac{17}{2}y=0$$

$$y''-2y-17=0$$

$$y=(C_1\cos 4t + C_2\sin 4t)e^t$$

$$y'=y+4(C_2\cos 4t - C_2 sin 4t)e^t$$

$$x=\dfrac{1}{2}y'-\dfrac{3}{2}y=-y+2(C_2\cos 4t - C_2 sin 4t)e^t$$

$$x=-(C_1\cos 4t + C_2\sin 4t)e^t+2C_2e^t\cos 4t-2C_2e^t\sin 4t$$

$$x= (2C_2-C_1)e^t\cos 4t - (2C_1+C_2)e^t\sin 4t$$

-- Пт дек 04, 2009 18:04:58 --

Ах, да, все верно, лишь знак возле постоянной отличается, ну это можно переобозначение сделать))

[ewert]

Что значит "другой"?... Просто константы по-разному фиксируются. Обозначьте произвольные постоянные, выплывшие в методе подстановки, через "Цэ-с-волной", и найдите взаимно-однозначное соответствие между ними и теми константами, которые выскочили после матричного метода.

---------------------------------------------
Ага, Вы уже увидели. Но было б приятно, чтоб Вы не случайно это замечали, а имели в виду, что произвольные постоянные всегда определены лишь с точностью до биекции между нами (ну или более-менее биекции, если задача нелинейна).

[invisible1]

$ \left\{ \begin{array}{l} x'=-x-10y\\ y'=2x+3y\\ \end{array} \right $
$x(0)=7$, $y(0)=-1$

Из второго уравнения

$$x=\dfrac{y'-3y}{2}=\dfrac{1}{2}y'-\dfrac{3}{2}y$$

$$x'=\dfrac{1}{2}y''-\dfrac{3}{2}y'$$

Подставляя в первое

$$\dfrac{1}{2}y''-\dfrac{3}{2}y'=-(\dfrac{1}{2}y'-\dfrac{3}{2}y)-10y$$

$$\dfrac{1}{2}y''-\dfrac{3}{2}y'+\dfrac{1}{2}y'-\dfrac{3}{2}y+10y=0$$

$$\dfrac{1}{2}y''-y'-\dfrac{17}{2}y=0$$

$$y''-2y-17=0$$

$$y=(C_1\cos 4t + C_2\sin 4t)e^t$$

$$y'=y+4(C_2\cos 4t - C_2 sin 4t)e^t$$

$$x=\dfrac{1}{2}y'-\dfrac{3}{2}y=-y+2(C_2\cos 4t - C_2 sin 4t)e^t$$

$$x=-(C_1\cos 4t + C_2\sin 4t)e^t+2C_2e^t\cos 4t-2C_2e^t\sin 4t$$

$$x= (2C_2-C_1)e^t\cos 4t - (2C_1+C_2)e^t\sin 4t$$

$$ \left\{ \begin{array}{l} x= (2C_2-C_1)e^t\cos 4t - (2C_1+C_2)e^t\sin 4t\\ y=(C_1\cos 4t + C_2\sin 4t)e^t\\ \end{array} \right $$

$$ \left\{ \begin{array}{l} x(0)=3C_2-C_1=7 \\ y(0)=C_1=-1 \\ \end{array} \right $$

$$ \left\{ \begin{array}{l} C_1=-1 \\ 3C_2+1=7\\ \end{array} \right $$

$$ \left\{ \begin{array}{l} C_1=-1 \\ C_2=2\\ \end{array} \right $$

Ответ:

$$ \left\{ \begin{array}{l} x= 5e^t\cos 4t\\ y= (2\sin 4t-cos 4t)e^t\\ \end{array} \right $$

-- Сб дек 05, 2009 02:09:50 --

$ \left\{ \begin{array}{l} x'=-x-10y\\ y'=2x+3y\\ \end{array} \right $
$$x(0)=7$, $y(0)=-1$$

$det\begin{pmatrix}-1-\lambda&-10 \\ 2&3-\lambda\end{pmatrix}=0$

${\lambda}^2-2\lambda+17=0$

$\lambda=1 \pm 4i$

1)$\lambda_1=1 + 4i$

$\begin{pmatrix}-1-(1 + 4i)&-10 &|0 \\ 2&3-(1 + 4i)&|0\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}-(2 + 4i)&-10 &|0 \\ 2&(2 - 4i)&|0\end{pmatrix}$

Домножая первую строчку на $2-4i$, получаем

$\begin{pmatrix}-20&-10(2-4i) &|0 \\ 2&(2 - 4i)&|0\end{pmatrix}$

Остается $\begin{pmatrix}1 & 1-2i|0 \end{pmatrix}$

Собственный вектор

$\vec v_1 = \begin{pmatrix} 1-2i\\-1 \end{pmatrix}$

Аналогично находим
2) $\lambda_1=1 - 4i$

$\begin{pmatrix}-1-(1 - 4i)&-10 &|0 \\ 2&3-(1 - 4i)&|0\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}-(2 - 4i)&-10 &|0 \\ 2&2 + 4i)&|0\end{pmatrix}$

Домножая первую строчку на $2+4i$, получаем

$\begin{pmatrix}-20&-10(2+4i) &|0 \\ 2&(2 + 4i)&|0\end{pmatrix}$

Остается $\begin{pmatrix}1 & 1+2i|0 \end{pmatrix}$
$\vec v_2 = \begin{pmatrix} 1+2i\\-1 \end{pmatrix}$

-- Сб дек 05, 2009 02:15:04 --

$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=A\cdot \vec v_1\,e^{\lambda_1 t}+B\cdot \overline{\vec v_2\,e^{\lambda_2 t}}$$

$A,\ B$ -- произвольные постоянные (комплексные) и черта означает комплексное сопряжение. Решение вещественно тогда и только тогда, когда второе слагаемое сопряжено первому, т.е. когда $A=\overline B={1\over2}(C_1+C_2\,i)$, где $C_1$, $C_2$ -- вещественные произвольные постоянные:

$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=e^t\cdot\mathop{\mathrm{Re}}\left[(C_1+C_2\,i)\,\begin{pmatrix}1-2i\\ -1\end{pmatrix}\,(\cos4t+i\,\sin4t)\right].$$

-- Сб дек 05, 2009 02:16:45 --

$ \left\{ \begin{array}{l} x=e^t\cdot\mathop{\mathrm{Re}}[(C_1+C_2i)(1-2i)(\cos 4t + i\sin 4t)]\\ y=e^t\cdot\mathop{\mathrm{Re}}[(C_1+C_2i)(-1)(\cos 4t + i\sin 4t)]\\ \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{l} x=e^t\cdot\mathop{\mathrm{Re}}[(C_1+C_2i-2iC_1+2C_2)(\cos 4t + i\sin 4t)]\\ y=e^t\cdot(C_2\sin 4t -C_1\cos 4t)\\ \end{array} \right $

$ \left\{ \begin{array}{l} x=e^t\cdot[(C_1+2C_2)\cos 4t + (2C_1-C_2)\sin 4t)\\ y=e^t\cdot(C_2\sin 4t -C_1\cos 4t)\\ \end{array} \right $

-- Сб дек 05, 2009 02:21:33 --

$ \left\{ \begin{array}{l} x(0)=C_1+2C_2=7\\ y(0)=-C_1=-1\\ \end{array} \right $
$ \left\{ \begin{array}{l} C_2=2\\ C_1=1\\ \end{array} \right $

-- Сб дек 05, 2009 02:23:54 --

$ \left\{ \begin{array}{l} x=5e^t\cdot \cos 4t \\ y=e^t\cdot(2\sin 4t -\cos 4t)\\ \end{array} \right $[/quote]

[invisible1]

Вот так будет красиво)

[ewert]

Очень; жаль только, что начальные условия не выполняются.

[invisible1]

А с чем это может быть связано...?

[ewert]

Система для констант решена неверно.