Ведь над

тоже нужно комплексное сопряжение...
А смысл? Она ж ведь пока -- произвольная. Да и логика не в этом, а -- что если есть некоторое решение (существенно комплексное), то сопряжённое к нему тоже будет решением, причём линейно независимым с первым и, следовательно,образующим с ним базис.
Ммм... это только в этом случае?
Угу. Если представить вторую константу как

, то сумма слагаемых с

и с

даст вещественное выражение, а чистая экспонента с

(если та ненулевая) -- заведомо комплексное. Ведь показатель-то той экспоненты -- невещественен.
А почему решение должно быть вещественно?!
Что значит "должно". Можно искать общее комплексное решение, и тогда на самой первой строчке и надо остановиться. А можно -- общее вещественное, раз уж исходная задача вещественна.