2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение02.12.2009, 19:53 


26/11/09
34
прошу прощения
Про максимум $(n/k)^k$.
Переформулируем условие. Рассмотрим функцию $f(x)=(n/x)^x$. Максимум достигается в точке $x=n/e$. (Надо прологарифмировать и взять производную). Пусть $k$ такое, что $n/e\in[k;k+1]$ ($\frac{2k+1}2$ - середина этого отрезка). Верно ли, что:
1) если $n/e>\frac{2k+1}2$, то $(n/k)^k<(n/(k+1))^{k+1}$;
2) если $n/e<\frac{2k+1}2$, то $(n/k)^k>(n/(k+1))^{k+1}$?
Докажем 1): ${(n/k)^k<(n/(k+1))^{k+1}}\Leftrightarrow{k\cdot\ln{(1+1/k)}<\ln{(n/(k+1))}}$.
Так как $n>e\cdot\frac{2k+1}2$, то $\ln{(n/(k+1))}>1-\ln{\frac{2k+2}{2k+1}}$ и нам достаточно доказать, что $k\cdot\ln{\left(1+\frac1k\right)}+\ln{(1+\frac1{2k+1})}<1$.
Докажем последнее неравенство.

-- Ср дек 02, 2009 20:47:14 --

$\ln{(1+1/m)}=\int_m^{m+1}(1/x)dx$ - площадь подграфика функции $y=1/x$ на промежутке $[m;m+1]$. Для случая $m=2k+1$ оценка сверху - площадь трапеции с основаниями $1/(2k+1)$, $1/(2k+2)$ и высотой $1$, то есть $\ln(1+1/(2k+1))<(4k+3)/((2k+1)(4k+4))$. Для случая $m=k$ оценка сверху - сумма площадей двух трапеций с высотами $1/2$ и основаниями $1/k, 2/(2k+1)$ и $2/(2k+1), 1/(k+1)$ соответственно, то есть $\ln{(1+1/k)}<(8k^2+8k+1)/(k(2k+1)(4k+4))$. Итак, $k\ln{(1+1/k)}+\ln{(1+1/(2k+1))}<1$.
Пункт 1) доказан. Таким образом, если $n/k$ лежит в правой половине соответствующего промежутка, то максимум достигается в правом (ближайшем) конце. Что же касается предложенных с помощью Maple контрпримеров, то для $n$, являющихся "левыми", это весьма вероятно, а для "правых" это не так. Например, $n=7531$. Соответствующее $k=2770$, $n/e>2770,5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение02.12.2009, 22:46 


13/11/09
166
Про Maple ввел всех в заблуждение :(. Из-за невнимательности и спешки была тупейная ошибка с округлением. Таких чисел в обозримом диапазоне на самом деле нет. Так что надо это теоретически доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение04.12.2009, 15:22 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
$f(k)=( (\frac{n}{k})^{\frac{k}{n}})^n$. Поэтому удобно сделать замену $q=\frac{n}{k} \in \mathbb{Q} \cap [0;1]$ и рассматривать $f(q)=q^q$. Будет гладкая кривая, которая справа убывает быстрее, чем слева, а поскольку $e^{-1}$ иррационально и множество точек с рациональными аргументами плотно на графике, то контрпример должен существовать.
При $n=825$ получается пример. Правая точка ближе к максимуму, но значение в ней меньше (что очень наглядно в Excel).

-- Пт дек 04, 2009 16:30:36 --

З.Ы. Для поиска примера нужно уметь строить подходящие приближения к $e^{-1}+\frac{1}{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение04.12.2009, 19:44 


13/11/09
166
Sonic86 в сообщении #267944 писал(а):
$f(k)=( (\frac{n}{k})^{\frac{k}{n}})^n$. Поэтому удобно сделать замену $q=\frac{n}{k} \in \mathbb{Q} \cap [0;1]$ и рассматривать $f(q)=q^q$. Будет гладкая кривая, которая справа убывает быстрее, чем слева, а поскольку $e^{-1}$ иррационально и множество точек с рациональными аргументами плотно на графике, то контрпример должен существовать.
При $n=825$ получается пример. Правая точка ближе к максимуму, но значение в ней меньше (что очень наглядно в Excel).

-- Пт дек 04, 2009 16:30:36 --

З.Ы. Для поиска примера нужно уметь строить подходящие приближения к $e^{-1}+\frac{1}{2}$.


А можно подробнее?
$\frac{825}{e} > 303.5005$. Тогда правая точка ближе к максимуму.
Сравним значения:
$\left (\frac{n}{k} \right )^ k \vee \left(\frac{n}{k + 1} \right)^ {k+1} \Leftrightarrow \left(1 + \frac{1}{k}\right) ^ k \vee \frac{n}{k + 1}.$
$n =825 \Rightarrow k = 303$.
$\left(1 + \frac{1}{k}\right) ^ k - \frac{n}{k + 1} = \frac{a}{b} < 0.$
Кому интересно - числа ниже (спасибо Maple).

(Оффтоп)

a=
-138522585425279964742514941661170339070579435886596391309001032
103677507609793494880739936732810441166174804711816397001127791
017481404200252079827315140649712984579165099029947675622442005
056253765726246956383049885320534149335777683177514132179997547
709605351533433809294977640251727663295879554951792231486674449
759253716480789311749187654972731337269197941393679804558439015
486414325082242858551792403708924628382437482121370649473975825
081180349587011591251677968390733688242265330906438266502466742
193642447781907136575135501822991207838976971316000929927500698
627745516279558955963842540360198081430235175841970814053641057
206487062954127006843215216013372588109740105714602983492100380
525623584504115448578974850943963844460059318524674621719.
b =
229081500867679313991323306368282273218281206643107095390703972
148360298659464375807309601776032870363852909072398068594787535
014300075910581832574129321420223537500715816081272114673887705
966258791005437627183548915560953873974143202495748545186599285
809945456706699291652874022619507524185253425082050058738898366
047117232676500028426711466046705857840913733114992920541287006
752715351519031749341553518657697583572433145403627014992317146
239951256433467696575193775640641653678065870308256042040783984
057485437831830743872749512531520202605052167443043025052233795
117702107958071977762998498319110083735609098369841908269893005
219270376858117238032543867551616037876176568130783796861056792
76907690488594358362913356948721550022064080738104518899078608.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение05.12.2009, 01:15 


26/11/09
34
Sonic86,
1) $q>1$,
2)$f(q)=q^{n/q}$ (максимум $f$ в $q=e$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение07.12.2009, 07:24 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
vmg писал(а):
Sonic86,
1) $q>1$,
2) f(q)=q^{n/q}(максимум $f$ в $q=e$).

:oops: , прошу прощенья, что ввел всех в заблуждение, каюсь.
Sonic86 писал(а):
q=\frac{n}{k}... f(q)=q^q

Это фигня. Правильно так: $q= \frac{k}{n}, f(q)=q^{-q}$. Остальные выкладки те же.
mitia87
А что конкретно непонятно? И еще: лучше считать $f(q)$, чем $f(k)$ - цифр меньше и расхождение уже на 4-м знаке.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group