Найдите наибольшее значение

[vmg]

прошу прощения
Про максимум $(n/k)^k$.
Переформулируем условие. Рассмотрим функцию $f(x)=(n/x)^x$. Максимум достигается в точке $x=n/e$. (Надо прологарифмировать и взять производную). Пусть $k$ такое, что $n/e\in[k;k+1]$ ($\frac{2k+1}2$ - середина этого отрезка). Верно ли, что:
1) если $n/e>\frac{2k+1}2$, то $(n/k)^k<(n/(k+1))^{k+1}$;
2) если $n/e<\frac{2k+1}2$, то $(n/k)^k>(n/(k+1))^{k+1}$?
Докажем 1): ${(n/k)^k<(n/(k+1))^{k+1}}\Leftrightarrow{k\cdot\ln{(1+1/k)}<\ln{(n/(k+1))}}$.
Так как $n>e\cdot\frac{2k+1}2$, то $\ln{(n/(k+1))}>1-\ln{\frac{2k+2}{2k+1}}$ и нам достаточно доказать, что $k\cdot\ln{\left(1+\frac1k\right)}+\ln{(1+\frac1{2k+1})}<1$.
Докажем последнее неравенство.

-- Ср дек 02, 2009 20:47:14 --

$\ln{(1+1/m)}=\int_m^{m+1}(1/x)dx$ - площадь подграфика функции $y=1/x$ на промежутке $[m;m+1]$. Для случая $m=2k+1$ оценка сверху - площадь трапеции с основаниями $1/(2k+1)$, $1/(2k+2)$ и высотой $1$, то есть $\ln(1+1/(2k+1))<(4k+3)/((2k+1)(4k+4))$. Для случая $m=k$ оценка сверху - сумма площадей двух трапеций с высотами $1/2$ и основаниями $1/k, 2/(2k+1)$ и $2/(2k+1), 1/(k+1)$ соответственно, то есть $\ln{(1+1/k)}<(8k^2+8k+1)/(k(2k+1)(4k+4))$. Итак, $k\ln{(1+1/k)}+\ln{(1+1/(2k+1))}<1$.
Пункт 1) доказан. Таким образом, если $n/k$ лежит в правой половине соответствующего промежутка, то максимум достигается в правом (ближайшем) конце. Что же касается предложенных с помощью Maple контрпримеров, то для $n$, являющихся "левыми", это весьма вероятно, а для "правых" это не так. Например, $n=7531$. Соответствующее $k=2770$, $n/e>2770,5$.

[mitia87]

Про Maple ввел всех в заблуждение . Из-за невнимательности и спешки была тупейная ошибка с округлением. Таких чисел в обозримом диапазоне на самом деле нет. Так что надо это теоретически доказать.

[Sonic86]

$f(k)=( (\frac{n}{k})^{\frac{k}{n}})^n$. Поэтому удобно сделать замену $q=\frac{n}{k} \in \mathbb{Q} \cap [0;1]$ и рассматривать $f(q)=q^q$. Будет гладкая кривая, которая справа убывает быстрее, чем слева, а поскольку $e^{-1}$ иррационально и множество точек с рациональными аргументами плотно на графике, то контрпример должен существовать.
При $n=825$ получается пример. Правая точка ближе к максимуму, но значение в ней меньше (что очень наглядно в Excel).

-- Пт дек 04, 2009 16:30:36 --

З.Ы. Для поиска примера нужно уметь строить подходящие приближения к $e^{-1}+\frac{1}{2}$.

[mitia87]

Sonic86 в сообщении #267944 писал(а):

$f(k)=( (\frac{n}{k})^{\frac{k}{n}})^n$. Поэтому удобно сделать замену $q=\frac{n}{k} \in \mathbb{Q} \cap [0;1]$ и рассматривать $f(q)=q^q$. Будет гладкая кривая, которая справа убывает быстрее, чем слева, а поскольку $e^{-1}$ иррационально и множество точек с рациональными аргументами плотно на графике, то контрпример должен существовать.
При $n=825$ получается пример. Правая точка ближе к максимуму, но значение в ней меньше (что очень наглядно в Excel).

-- Пт дек 04, 2009 16:30:36 --

З.Ы. Для поиска примера нужно уметь строить подходящие приближения к $e^{-1}+\frac{1}{2}$.

А можно подробнее?
$\frac{825}{e} > 303.5005$. Тогда правая точка ближе к максимуму.
Сравним значения:
$\left (\frac{n}{k} \right )^ k \vee \left(\frac{n}{k + 1} \right)^ {k+1} \Leftrightarrow \left(1 + \frac{1}{k}\right) ^ k \vee \frac{n}{k + 1}.$
$n =825 \Rightarrow k = 303$.
$\left(1 + \frac{1}{k}\right) ^ k - \frac{n}{k + 1} = \frac{a}{b} < 0.$
Кому интересно - числа ниже (спасибо Maple).

(Оффтоп)

a=
-138522585425279964742514941661170339070579435886596391309001032
103677507609793494880739936732810441166174804711816397001127791
017481404200252079827315140649712984579165099029947675622442005
056253765726246956383049885320534149335777683177514132179997547
709605351533433809294977640251727663295879554951792231486674449
759253716480789311749187654972731337269197941393679804558439015
486414325082242858551792403708924628382437482121370649473975825
081180349587011591251677968390733688242265330906438266502466742
193642447781907136575135501822991207838976971316000929927500698
627745516279558955963842540360198081430235175841970814053641057
206487062954127006843215216013372588109740105714602983492100380
525623584504115448578974850943963844460059318524674621719.
b =
229081500867679313991323306368282273218281206643107095390703972
148360298659464375807309601776032870363852909072398068594787535
014300075910581832574129321420223537500715816081272114673887705
966258791005437627183548915560953873974143202495748545186599285
809945456706699291652874022619507524185253425082050058738898366
047117232676500028426711466046705857840913733114992920541287006
752715351519031749341553518657697583572433145403627014992317146
239951256433467696575193775640641653678065870308256042040783984
057485437831830743872749512531520202605052167443043025052233795
117702107958071977762998498319110083735609098369841908269893005
219270376858117238032543867551616037876176568130783796861056792
76907690488594358362913356948721550022064080738104518899078608.

[vmg]

Sonic86,
1) $q>1$,
2)$f(q)=q^{n/q}$ (максимум $f$ в $q=e$).

[Sonic86]

vmg писал(а):

Sonic86,
1) $q>1$,
2) f(q)=q^{n/q}(максимум $f$ в $q=e$).

, прошу прощенья, что ввел всех в заблуждение, каюсь.

Sonic86 писал(а):

q=\frac{n}{k}... f(q)=q^q

Это фигня. Правильно так: $q= \frac{k}{n}, f(q)=q^{-q}$. Остальные выкладки те же.
mitia87
А что конкретно непонятно? И еще: лучше считать $f(q)$, чем $f(k)$ - цифр меньше и расхождение уже на 4-м знаке.