Принцип равенства масс

[Someone]

Yakov-Chin в сообщении #266650 писал(а):

В данном случае контрольное слово движение, второе слово - с постоянным. Ускорение зависит от квадрата расстояния, поэтому постоянство ускорения зыбкое утверждение.

Я же сказал: принцип универсальности свободного падения (или слабый принцип эквивалентности, или принцип пропорциональности инертной и гравитационной массы) относится к движению пробного тела в заданном гравитационном поле. Совершенно не важно, как зависит ускорение от расстояния. В этом принципе ничего не говорится о постоянности ускорения. PapaKarlo пытается объяснить на упрощённом примере, что в однородном гравитационном поле ускорение тела можно заменить ускорением системы отсчёта.

Yakov-Chin в сообщении #266650 писал(а):

Эти формулы выводились в инерциальных системах отсчета. При переходе в не инерциальную они могут не выполнятся. В данном случае при переходе в не ИСО к ускорению вычисляемому относительно одного тела необходимо будет прибавлять ускорение самой системы, чтобы вычислить какое ускорение будет относительно тела с которым связана СО.

Вопрос о переходе от одной системы координат к другой - это не физический вопрос, а математический. Он хорошо разработан, стандартно используется в ОТО, и никаких проблем здесь не предвидится.

Yakov-Chin в сообщении #266650 писал(а):

Я не против принципа и с ним согласен.

Ну и чудненько.

Yakov-Chin в сообщении #266650 писал(а):

Но считаю его не корректно использовали.

??? Вы хорошо (профессионально) знакомы с ОТО, или только понаслышке?

[ИгорЪ]

PapaKarlo в сообщении #266634 писал(а):

Возможно, моя формулировка несколько неудачна. Я имел в виду, что принцип равенства инерционной и гравитационной масс не есть постулат, выдвинутый ОТО, но существовал и до ОТО, а именно - классической физикой. А какие противоречия имели Вы в виду?

Да это так, каламбуры постулат не постулат, возможно вы неточно выразились а я не правильно додумал. Разве он там в классике имел статус постулата? Просто экспериментальный факт. Из него ничего не строилось! А вот в ОТО - да стал постулатом с громким названием принцип эквивалентности. А главная загадка почему же массы равны - осталась...

[PapaKarlo]

Yakov-Chin в сообщении #266650 писал(а):

Someone в сообщении #266545 писал(а):

Почему ОТО не может использовать в качестве постулата принцип, не противоречащий никаким известным опытам? Построить теорию на пустом месте, не предполагая вообще ничего, невозможно.

Я не против принципа и с ним согласен. Но считаю его не корректно использовали.

А в чем именно некорректность с Вашей точки зрения?

Yakov-Chin в сообщении #266650 писал(а):

PapaKarlo в сообщении #266512 писал(а):

Упрощенное рассуждение.

В данном случае контрольное слово движение, второе слово - с постоянным.

Нет, в данном случае ключевое слово - упрощенное (рассуждение).

Yakov-Chin в сообщении #266650 писал(а):

PapaKarlo в сообщении #266512 писал(а):

Упрощенное рассуждение. Рассматривается движение свободного тела в неинерциальной СО (НСО), движущейся с постоянным в некоторой ИСО ускорением . Тело с произвольной массой движется в НСО с ускорением , которое не зависит от массы ; т.е. любое тело движется в НСО с указанным ускорением.

В данном случае контрольное слово движение, второе слово - с постоянным. Ускорение зависит от квадрата расстояния, поэтому постоянство ускорения зыбкое утверждение. Далее, формулы , которые рассматриваем говорят только о том, какое ускорение будет у тела в такой-то точке.
Эти формулы выводились в инерциальных системах отсчета. При переходе в не инерциальную они могут не выполнятся. В данном случае при переходе в не ИСО к ускорению вычисляемому относительно одного тела необходимо будет прибавлять ускорение самой системы, чтобы вычислить какое ускорение будет относительно тела с которым связана СО.

Почему вдруг ускорение зависит от квадрата расстояния? Я ничего такого не говорил. Или Вы комментируете не мое сообщение?

Да, формулы рассматривают лишь ускорение в какой-то точке (или малой окрестности). Поэтому утверждение о постоянстве ускорения и однородности поля достаточно общо. И поэтому же речь шла о принципе локальной эквивалентности.

Какие именно формулы выводились в ИСО? Перечитайте, пожалуйста, мое сообщение и обратите внимание на условия, которые там сформулированы. Мне кажется, Вы распространяете некие обобщения, о которых я не говорил, на эти условия.

ИгорЪ в сообщении #266688 писал(а):

Разве он там в классике имел статус постулата? Просто экспериментальный факт. Из него ничего не строилось!

Ну как же? Например, следующее утверждение: ускорение свободного падения равно

$g=\frac{GM}{r^3}\vec r$

ИгорЪ в сообщении #266688 писал(а):

А вот в ОТО - да стал постулатом с громким названием принцип эквивалентности.

ОТО серьезно отличается от классической механики именно этим постулатом (не только им, разумеется). С одной стороны, в классической механике есть качественное разделение на ИСО и НСО - по (форме) применимости законов Ньютона. Введение силы инерции в НСО позволяет пользоваться 2-м законом Ньютона - правда, третий закон не выполняется. С другой стороны, есть 2-й закон, связывающий произвольной природы взаимодейтсвие с кинематикой через силу, а есть законы, связыващие массу и заряд с силами - гравитационными и электромагнитными. В ОТО ситуация в определенном смысле упрощается - гравитационные силы геометризируются. Таким образом, в определенном смысле дается ответ на вопрос о природе гравитации; я бы сказал, природа гравитация "объясняется" так же, как и причина выполнения первого закона Ньютона в ИСО. А вот программу геометризации э/м поля Эйнштейну выполнить не удалось. Да еще и другие поля обнаружились...

ИгорЪ в сообщении #266688 писал(а):

А главная загадка почему же массы равны - осталась...

Такой ответ подходит: мы, сами того не зная, посмотрели на вторую сторону Луны и удивились - надо же, как похожи эти два небесных тела - на фотографии в телескопе и на фотографии, полученной межпланетной станцией. Потом кто-то сказал: ребята, да это же одна и та же Луна.

А вот загадка, почему же масса вообще есть, пока действительно остается. Кстати, а почему есть электрический заряд?

[VladTK]

Так... "Бои" по принципу эквивалентности (ПЭ) продолжаются

В ОТО справедлив "сильный" принцип эквивалентности: гравитационное поле эквивалентно метрике некоторого псевдо-Риманового пространства-времени. Менее "сильные" варианты ПЭ ослабляют эту эквивалентность. Еще хочу заметить, что "слабый" ПЭ (равенство инертной и гравитационных масс) применим всегда (в том смысле что это экспериментальный факт), в то время как Эйнштейнов "лифт" (эквивалентность НСО и однородного гравитационного поля) справедлив только в однородном поле вне областей где имеется кривизна.

Someone писал(а):

Вопрос о переходе от одной системы координат к другой - это не физический вопрос, а математический. Он хорошо разработан, стандартно используется в ОТО, и никаких проблем здесь не предвидится.

Вообще то Yakov-Chin говорил о переходе между системами отсчета, а не между системами кординат. А это не одно и то же.

PapaKarlo писал(а):

Такой ответ подходит: мы, сами того не зная, посмотрели на вторую сторону Луны и удивились - надо же, как похожи эти два небесных тела - на фотографии в телескопе и на фотографии, полученной межпланетной станцией. Потом кто-то сказал: ребята, да это же одна и та же Луна.

Я тоже склоняюсь к этой мысли. Вообще же данный факт можно считать еще одной формулировкой ПЭ: источником гравитационного поля (правой частью уравнений гравитационного поля) является тензор энергии-импульса "вещества". Вместе с "сильным" ПЭ этих утверждений достаточно (как показано например у Вайнберга) для построения уравнений Эйнштейна.

[Yakov-Chin]

Someone в сообщении #266672 писал(а):

Я же сказал: принцип универсальности свободного падения (или слабый принцип эквивалентности, или принцип пропорциональности инертной и гравитационной массы) относится к движению пробного тела в заданном гравитационном поле

Тогда вопрос: подходит ли ОТО для описания скажем движения двойных звезд?

-- Пн ноя 30, 2009 18:29:21 --

PapaKarlo в сообщении #266726 писал(а):

Нет, в данном случае ключевое слово - упрощенное (рассуждение).

НЕТ. Если речь идет о пробных телах, то как можно теорию построеную для пробных тел применять не для "пробных", т.е. для тел чьи массы не сильно различаются?
Заявления типа:

Цитата:

Если гравитационная масса точно равна инерционной, то в выражении для ускорения тела, на которое действуют лишь гравитационные силы, обе массы сокращаются.

Их можно условно справедливыми для пробных тел, но нельзя их вводить как принцип, потому что это не соответствует действительности ни относительно инерциальной системы отсчета, ни относительно не инерциальной системы отсчета.

-- Пн ноя 30, 2009 18:47:34 --

Вот как выглядет формула гравитационного взаимодействия в инерциальной системе отсчета связанной с центром масс взаимодействующих тел:

$ a2 = G *M1^3 / (M1 + M2)^2* r2^2$
Где $a2$ - ускорение второго тела, относительно системы отсчета связанной с центром масс.
$M1 , M2$ - массы первого , второго тела
$r2$ - расстояние второго тела до центра масс
(Вывод опускаю),

(Оффтоп)

желающие могут потренироваться, нет ничего сложного

Массы не сокращаются.

-- Пн ноя 30, 2009 18:55:23 --

Если масса второго тела мала, то можно считать, что ускорение не зависит от его массы, но возводить это примерное утверждение в принцип или постулат для теории....

[ИгорЪ]

PapaKarlo в сообщении #266726 писал(а):

Ну как же? Например, следующее утверждение: ускорение свободного падения равно

$g=...$ это конечно можно считать следствием равества масс, а можно ведь и наоборот доказательством их равенства (ускорения не зависят от масс), но это малоинтересные школьные следствия, невыводящие в некую новую науку как в случае ОТО.

PapaKarlo в сообщении #266726 писал(а):

Такой ответ подходит: мы, сами того не зная, посмотрели на вторую сторону Луны и удивились - надо же, как похожи эти два небесных тела - на фотографии в телескопе и на фотографии, полученной межпланетной станцией. Потом кто-то сказал: ребята, да это же одна и та же Луна.

А вот загадка, почему же масса вообще есть, пока действительно остается. Кстати, а почему есть электрический заряд?

Про Луну ответ известный, но. Если мы видим две похожие картинки и решаем что это одно и тоже, то что же это такое в целом? Ведь плоская картинка, даже две не эквивалентны сферическому объекту. Если инертная масса - это орел, одна сторона монеты, а гравитационная - решка, другая сторона, то сама монета не есть масса, а есть некая новая неизвестная сущность, сечения которой обладают свойствами масс. Поэтому "лунное" объяснение массы требует введения нового понятия, Луны. У вас есть оно?
Электрический заряд более менее естественно появляется в калибровочных моделях.

-- Пн ноя 30, 2009 18:05:25 --

VladTK
Вы как то выказали знакомство с Благоевичем, калибровочная гравитация, если позволите, вопрос. В качестве калибр. группы берут гр. Пуанкаре? Гравитационные поля при этом безмассовы? Дело в том, что я попытался построить калибровочные теории с неполупростыми внутренними группами, ну и получил, что если есть трансляции, (как в Пуанкаре, но в изопространстве) то соответствующие калибровочные поля массивны. Как известно этого достигают обычно введением Хиггсов. Я даже здесь пытался пообсуждать это topic24485.html , но собеседники видимо уехали на заработки.
Можете как то прокоментировать этот сюжет?

[PapaKarlo]

ИгорЪ в сообщении #266769 писал(а):

это конечно можно считать следствием равества масс, а можно ведь и наоборот доказательством их равенства (ускорения не зависят от масс)

Доказательство должно на чем-то основываться. Какие основания, помимо второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения, нужны для того, что Вы назвали доказательством? Экспериментальные подтверждения независимости ускорения свободного падения от массы? От какой массы? Если от инерционной, то что за буквы $M$ и $m$ входят в закон всемирного тяготения? Ну и т.д.

ИгорЪ в сообщении #266769 писал(а):

но это малоинтересные школьные следствия, невыводящие в некую новую науку как в случае ОТО.

Это сейчас они школьные. Хотя я не уверен, что в любой школе и даже в любом школьном учебнике делается акцент на хотя бы равенстве, не говоря уже об эквивалентности, инерционной и гравитационной масс.

Так вот, сейчас - можно сказать, школьные. Так и закон Кулона - "школьный". Тем не менее ИМХО следствия неочевидные, пока не задуматься над ними. Сравните две системы: в одной два электрически нейтральных тела, в другой - два разноименно заряженных. При каком условии силы притяжения будут равны (гравитацией заряженных тел можно пренебречь, благо различие десятки порядков)?

Что касается ОТО, то ведь не один лишь принцип эквивалентности масс или слабый принцип эквивалентности составляет сущность ОТО. Там гораздо больше, прежде всего - уравнения Эйнштейна. Т.е. уравнения, позволяющие в конкретном случае определить тензор кривизны. Точно также и уравнения электродинамики и закона всемирного тяготения позволяют в конкретном случае определить силы. А уж далее - закон инерции в соответствующей редакции...

ИгорЪ в сообщении #266769 писал(а):

Про Луну ответ известный, но...

Возможно, аналогия была не совсем удачна. Надеюсь, Вы поняли, что я хотел сказать (разумеется, сомнение не в Ваших способностях понять, а в удачности аналогии).

ИгорЪ в сообщении #266769 писал(а):

Поэтому "лунное" объяснение массы требует введения нового понятия, Луны. У вас есть оно?

Ну да: масса. Та самая, единая. Характеризует как инертность, так и гравитацию.

ИгорЪ в сообщении #266769 писал(а):

Электрический заряд более менее естественно появляется в калибровочных моделях.

На пальцах можете пояснить? Пожалуйста...

[Yakov-Chin]

PapaKarlo

Цитата:

....Что касается ОТО, то ведь не один лишь принцип эквивалентности масс или слабый принцип эквивалентности составляет сущность ОТО...

Да, принцип оказался действительно слабый!

Цитата:

Там гораздо больше, прежде всего - уравнения Эйнштейна.

Уравнения Эйнштейна описывают кривизну пространства, подменяя этим гравитационное взаимодействие.
А, ранее мною было показано, что подмена гравитационных взаимодействий искривлением геометрии пространства не корректно ( мягко говоря)

[VladTK]

ИгорЪ писал(а):

Вы как то выказали знакомство с Благоевичем, калибровочная гравитация, если позволите, вопрос. В качестве калибр. группы берут гр. Пуанкаре? Гравитационные поля при этом безмассовы?...

Когда-то интересовался. В качестве калибр. группы берут разные группы: подгруппу трансляций (выходит чистая ОТО), подгруппу Лоренца (пишут что получают теорию с кручением-тензорным потенциалом 3 ранга, но эквивалентную ОТО), гр. Пуанкаре (выходит Риман-Картан), конформную гр. (Вейлевская гравитация), видел даже калибровочную теорию на основе общей аффинной группы. Благоевич рассматривал теории с группами Пуанкаре и конформной группой. Пишет, что поля безмассовы. Конкретно по группе Пуанкаре смотрите формулы (3.50) в его монографии "Gravitation and gauge symmetries". Как Вы получили массу - это интересно. Вроде как не крути, массовый член не получается...

[Yakov-Chin]

Извините, я Вам помешал!

[Someone]

Yakov-Chin в сообщении #266741 писал(а):

Вот как выглядет формула гравитационного взаимодействия в инерциальной системе отсчета связанной с центром масс взаимодействующих тел:

$ a2 = G *M1^3 / (M1 + M2)^2* r2^2$
Где $a2$ - ускорение второго тела, относительно системы отсчета связанной с центром масс.
$M1 , M2$ - массы первого , второго тела
$r2$ - расстояние второго тела до центра масс
(Вывод опускаю)

Вы это сами выводили? Давайте я попробую. Пусть $Oxyz$ - ("неподвижная") декартова система координат.
Пусть в некоторый момент времени $t$ тело массы $m_1$ находится в точке $M_1(x_1,y_1,z_1)$, а тело массы $m_2$ - в точке $M_2(x_2,y_2,z_2)$. Обозначим векторы $\vec r_1=\overrightarrow{OM_1}=x_1\vec\imath+y_1\vec\jmath+z_1\vec k$, $\vec r_2=\overrightarrow{OM_2}=x_2\vec\imath+y_2\vec\jmath+z_2\vec k$ (радиус-векторы точек $M_1$ и $M_2$),
$\vec r_{12}=\overrightarrow{M_1M_2}=\vec r_2-\vec r_1=(x_2-x_1)\vec\imath+(y_2-y_1)\vec\jmath+(z_2-z_1)\vec k$ (вектор, идущий из точки $M_1$ в точку $M_2$),
$\vec r_{21}=\overrightarrow{M_2M_1}=\vec r_1-\vec r_2=(x_1-x_2)\vec\imath+(y_1-y_2)\vec\jmath+(z_1-z_2)\vec k$ (вектор, идущий из точки $M_2$ в точку $M_1$).
Здесь $\vec\imath$, $\vec\jmath$, $\vec k$ - орты осей $Ox$, $Oy$, $Oz$.
Конечно, $r_{21}=-\vec r_{12}$ и $\left|\vec r_{12}\right|=\left|\vec r_{21}\right|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$.

По закону всемирного тяготения, сила притяжения между данными телами, действующая на второе тело, равна $F_{12}=\frac{Gm_1m_2}{\left|\vec r_{12}\right|^2}$, направлена по прямой, соединяющей эти тела, к первому телу. Если обозначить $\vec e_{21}$ вектор единичной длины, направленный от второго тела к первому, то в векторном виде сила равна $\vec F_{12}=\frac{Gm_1m_2}{\left|\vec r_{12}\right|^2}\vec e_{21}$. Легко видеть, что можно взять $\vec e_{21}=\frac{\vec r_{21}}{\left|\vec r_{21}\right|}=-\frac{\vec r_{12}}{\left|\vec r_{12}\right|}$, и тогда получим $\vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2}{\left|\vec r_{12}\right|^3}\vec r_{12}$. Аналогично сила, действующая на первое тело, равна $\vec F_{21}=-\frac{Gm_1m_2}{\left|\vec r_{21}\right|^3}\vec r_{21}$.

Воспользовавшись вторым законом Ньютона, можем написать уравнения движения:

$$\begin{cases}m_1\frac{d^2\vec r_1}{dt^2}=-\frac{Gm_1m_2\vec r_{21}}{\left|\vec r_{21}\right|^3}\text{,}\\ m_2\frac{d^2\vec r_2}{dt^2}=-\frac{Gm_1m_2\vec r_{12}}{\left|\vec r_{12}\right|^3}\text{.}\end{cases}$$

Если теперь наша система координат $Oxyz$ не является неподвижной, а движется относительно "неподвижной" системы с некоторой скоростью $\vec V$, то в этих уравнениях (выведенных для "неподвижной" системы координат) векторы $\vec r_1$ и $\vec r_2$ нужно заменить векторами $\vec r_1+t\vec V+\vec r_0$ и $\vec r_2+t\vec V+\vec r_0$ (здесь $r_0$ - вектор, идущий из начала "неподвижной" системы координат в начало движущейся), векторы $\vec r_{12}$ и $\vec r_{21}$ не изменятся, при вычислении второй производной дополнительные слагаемые исчезнут, и уравнения примут тот же вид, так что они справедливы в любой инерциальной системе отсчёта, в том числе - и в системе центра масс.
Легко заметить, что в уравнении движения первого тела сокращается его масса $m_1$, а в уравнении движения второго - его масса $m_2$, и получаются уравнения

$$\begin{cases}\frac{d^2\vec r_1}{dt^2}=-\frac{Gm_2\vec r_{21}}{\left|\vec r_{21}\right|^3}\text{,}\\ \frac{d^2\vec r_2}{dt^2}=-\frac{Gm_1\vec r_{12}}{\left|\vec r_{12}\right|^3}\text{.}\end{cases}$$

Как и положено, ускорение каждого тела не зависит от его массы (в том числе, и в системе центра масс системы тел).
Если принять, например, первое тело за неподвижное, то есть, рассмотреть (неинерциальную) систему отсчёта, связанную с этим телом, то, вычитая из второго уравнения первое, получим для вектора $\vec r_{12}=\vec r_2-\vec r_1$ уравнение

$$\frac{d^2\vec r_{12}}{dt^2}=-\frac{G(m_1+m_2)\vec r_{12}}{\left|\vec r_{12}\right|^3}\text{.}$$

В этом уравнении действительно присутствует сумма масс. Но это уравнение относится к неинерциальной системе отсчёта.

Теперь Ваша очередь показать полный вывод.

Yakov-Chin в сообщении #266810 писал(а):

ранее мною было показано, что подмена гравитационных взаимодействий искривлением геометрии пространства не корректно ( мягко говоря)

Где?

Yakov-Chin в сообщении #266818 писал(а):

Извините, я Вам помешал!

Да, о Вас забыли.

-- Пн ноя 30, 2009 19:13:24 --

Yakov-Chin в сообщении #266741 писал(а):

Someone в сообщении #266672 писал(а):

Я же сказал: принцип универсальности свободного падения (или слабый принцип эквивалентности, или принцип пропорциональности инертной и гравитационной массы) относится к движению пробного тела в заданном гравитационном поле

Тогда вопрос: подходит ли ОТО для описания скажем движения двойных звезд?

Подходит. Причём, лучше ньютоновской. А в тесных парах пульсаров ньютоновская теория вообще заметно врёт, в то время как ОТО с наблюдениями согласуется.

Yakov-Chin в сообщении #266741 писал(а):

PapaKarlo в сообщении #266726 писал(а):

Нет, в данном случае ключевое слово - упрощенное (рассуждение).

НЕТ. Если речь идет о пробных телах, то как можно теорию построеную для пробных тел применять не для "пробных", т.е. для тел чьи массы не сильно различаются?

Чукча не читатель, чукча писатель. Я Вам объяснил, как: большие тела разбиваются на большую совокупность малых пробных тел. В итоге вместо дискретных сумм появляются интегралы и т.д.. В общем, это математика на уровне технического ВУЗа.

[Yakov-Chin]

С расчетом Вы перемудрили. Можно конечно начать , как у Вас x, y, z, потом корень квадратный , кото рые писать в данном случае было совсем не обязательно, "хитрые" производные , добавляющее ученость в Ваши вычисления. Всё проще:
Представляем себе, что тела взаимодействуют не между собой, а с неким центральным телом, которое находится в центре масс системы и имитирует гравитационное взаимодействие. Расстояние между центром масс и телами определяется обратной пропорцией с их массами. Теперь мы находимся в инерциальной системе отсчета.
Можно выразить центральную массу через взаимодействующие массы (допустим ) для массы2 (для каждой массы масса центрального тела будет разной):
$Mo2 = М1 / (1 + M2/M1)^2$
Потом выражаем силу гравитационного взаимодействия между второй массой и центральным телом:
$F2 = G * M2 * Mo2 / ro2^2 $
ro2 - расстояние от центра масс до второго тела. Дальше подставляем одно в другое , применяем второй закон Ньютона и получаем ускорение в инерциальной системе, которое я приводил ранее.
Кстати, насчет чукчей, я тоже люблю иногда поерничать, но надо знать границы.

[Someone]

Yakov-Chin в сообщении #266835 писал(а):

Представляем себе, что тела взаимодействуют не между собой, а с неким центральным телом

И получаем, разумеется, ерунду.

Yakov-Chin в сообщении #266835 писал(а):

Кстати, насчет чукчей, я тоже люблю иногда поерничать, но надо знать границы.

Тогда почему делаете вид, что не читали?

[Yakov-Chin]

Someone в сообщении #266839 писал(а):

И получаем, разумеется, ерунду.

Ну, тогда дискуссия окончена. Что тут поделать чукчам?

[PapaKarlo]

Yakov-Chin в сообщении #266835 писал(а):

С расчетом Вы перемудрили.
...
$Mo2 = М1 / (1 + M2/M1)^2$

А Вы немного "недомудрили". Во-первых, советую все же потренироватья в использовании LaTeX, а то Ваша формула для массы центрального тела выглядит несколько странно. Должно было, видимо, быть так:

$M_{02}=\frac{M_1}{\left(1+\frac{M_2}{M_1}\right)^2}$

Во-вторых, и это уже принципиально, - как Вы получили формулу для массы центрального тела? Покажите, пожалуйста, более подробный вывод.

(Оффтоп)

Я получил такую же формулу, только, боюсь, "незаконно".