2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача про полином
Сообщение27.11.2009, 23:58 


27/11/09
4
Дан полином $f(z)=z^n+z^{n-1}+...+z-n/\rho,\ n \in \mathbb{N},\ \rho\in(0,1)$. Нужно доказать что он не имеет кратных корней и все корни по модулю больше 1. Для первого пункта я стал доказывать что $(f(z),f'(z))=1$, однако я никак не могу обобщить первый шаг алгоритма Евклида, чтобы получить явный вид НОД.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про полином
Сообщение28.11.2009, 00:53 
Заблокирован


19/06/09

386
Применяйте соображения к иному многочлену:
$f(z)=\frac{z^{n+1}-\left(1+\frac{n}{p}\right)z+\frac{n}{p}}{z-1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про полином
Сообщение28.11.2009, 16:17 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Да тут никаких НОДов считать, на самом деле, не надо.

powerhead в сообщении #265829 писал(а):
...все корни по модулю больше 1.

Оцените $|f(z) + n/\rho|$ при $|z| \leqslant 1$.

powerhead в сообщении #265829 писал(а):
...не имеет кратных корней

А тут можно заметить, что

$(z-1)f(z) = (z^{n+1}-1) - (1 + n/\rho)(z-1)$;
$f(z) + (z-1)f'(z) = (n+1)z^n - (1 + n/\rho)$.

Теперь если $f(z) = f'(z) = 0$, то из второго равенства имеем
$$
z^n = \frac{1 + n/\rho}{1 + n}
$$
Подставьте это $z$ в первое равенство и, учитывая, что $z^{n+1} = z \cdot z^n$, выразите $\rho$ через $n$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group