Задача про полином

[powerhead]

Дан полином $f(z)=z^n+z^{n-1}+...+z-n/\rho,\ n \in \mathbb{N},\ \rho\in(0,1)$. Нужно доказать что он не имеет кратных корней и все корни по модулю больше 1. Для первого пункта я стал доказывать что $(f(z),f'(z))=1$, однако я никак не могу обобщить первый шаг алгоритма Евклида, чтобы получить явный вид НОД.

[jetyb]

Применяйте соображения к иному многочлену:
$f(z)=\frac{z^{n+1}-\left(1+\frac{n}{p}\right)z+\frac{n}{p}}{z-1}$

[Профессор Снэйп]

Да тут никаких НОДов считать, на самом деле, не надо.

powerhead в сообщении #265829 писал(а):

...все корни по модулю больше 1.

Оцените $|f(z) + n/\rho|$ при $|z| \leqslant 1$.

powerhead в сообщении #265829 писал(а):

...не имеет кратных корней

А тут можно заметить, что

$(z-1)f(z) = (z^{n+1}-1) - (1 + n/\rho)(z-1)$;
$f(z) + (z-1)f'(z) = (n+1)z^n - (1 + n/\rho)$.

Теперь если $f(z) = f'(z) = 0$, то из второго равенства имеем

$$ z^n = \frac{1 + n/\rho}{1 + n} $$

Подставьте это $z$ в первое равенство и, учитывая, что $z^{n+1} = z \cdot z^n$, выразите $\rho$ через $n$.