проекция эллипсоида на плоскость

[g-a-m-m-a]

Пусть есть эллипсоид с матрицей $Q$ и центром $q,$ кроме того задана плоскость, построенная на двух ортогональных векторах $e_1,\,e_2.$ Эллипсоид проецируется на эту плоскость, как найти матрицу и центр эллипсоида, получающегося в проекции?

[ewert]

g-a-m-m-a в сообщении #265624 писал(а):

как найти матрицу и центр эллипсоида, получающегося в проекции?

Только не эллипсоида, а эллипса.

Центр эллипса лежит, естественно, на прямой, проходящей через центр эллипсоида и перпендикулярной плоскости.

Что касается матрицы этого эллипса. Сделайте поворот (т.е. ортогональное преобразование) так, чтобы новые оси $OX'$ и $OY'$ были направлены по тем двум векторам. Пересчитайте соответствующим образом матрицу эллипсоида. Интерпретируйте получившееся уравнение эллипсоида в новых координатах как квадратное уравнение относительно переменной $z'$, в котором $x'$ и $y'$ -- это параметры. Потребуйте, чтобы дискриминант этого уравнения был равен нулю. То, что получится, и будет уравнением искомого эллипса, а его коэффициенты (в стандартной записи) -- элементами матрицы.

[g-a-m-m-a]

ну по идее у меня пространство конечной размерности, но не обязательно это 3

[AD]

g-a-m-m-a в сообщении #265638 писал(а):

ну по идее у меня пространство конечной размерности, но не обязательно это 3

Но

g-a-m-m-a в сообщении #265624 писал(а):

$e_1,\,e_2.$

убеждает, что таки эллипс.

[ewert]

Хорошо. Пусть у нас пространство произвольной размерности, и в нём задан эллипсоид неравенством $(A\vec u,\vec u)\leqslant1$. И мы хотим спроецировать его на некоторое подпространство $L$ (любой размерности). Произвольный вектор запишем как $\vec u=\vec h+\vec v$, где $\vec v\in L$ и $\vec h\in L^{\perp}$, т.е. $\vec v=P_{\|}u$ $\vec h=P_{\perp}u$ (имеются в виду соответствующие ортопроекторы).

Элемент $\vec v$ принадлежит проекции эллипсоида тогда и только тогда, когда для данного $\vec v$ неравенство $(A\vec h,\vec h)+2(A\vec v,\vec h)+(A\vec v,\vec v)\leqslant1$ имеет хоть одно решение $\vec h\in L^{\perp}$. Минимизируем первые два слагаемых при фиксированном $\vec v$:

$$(A\vec h,\vec h)+2(A\vec v,\vec h)=(P_{\perp}A\,P_{\perp}\vec h,\vec h)+2(P_{\perp}A\vec v,\vec h)=(B\vec h,\vec h)+2(\vec w,\vec h)=\min,$$

где $\vec w\equiv P_{\perp}A\vec v\in L^{\perp}$ и $B\equiv P_{\perp}A\,P_{\perp}$ -- это ортогональное сужение оператора $A$ на подпространство $L^{\perp}$. Минимум достигается тогда и только тогда, когда $\vec h=-B^{-1}\vec w$, где под $B^{-1}$ понимается симметричный оператор, равный действительно обратному к $B$ на подпространстве $L^{\perp}$ и тождественному нулю на $L$ (т.е., фактически, $B^{-1}=P_{\perp}B^{-1}P_{\perp}$). Сам минимум равен

$$-(B\vec h,\vec h)=-(B^{-1}\vec w,\vec w)=-(B^{-1}P_{\perp}A\vec v,\,P_{\perp}A\vec v)=-(A\,P_{\perp}B^{-1}P_{\perp}A\vec v,\,\vec v)$$

Таким образом, условие на $\vec v$ сводится к: $(A\vec v,\,\vec v)-(A\,P_{\perp}B^{-1}P_{\perp}A\vec v,\,\vec v)\leqslant1$. А поскольку $\vec v=P_{\|}\vec u$, окончательно получаем:

$$(\widetilde A\,\vec u,\,\vec u)\leqslant1,\quad\text{где}\quad\widetilde A\equiv P_{\|}A\,P_{\|}-P_{\|}A\cdot P_{\perp}B^{-1}P_{\perp}\cdot AP_{\|}$$

(напомню, что $P_{\perp}B^{-1}P_{\perp}$ -- это результат обращения оператора $P_{\perp}A\,P_{\perp}$ на только подпространстве $L^{\perp}$).

Это неравенство выделяет в пространстве цилиндр, основанием которого будет искомый эллипсоид в подпространстве $L$. Если выбрать в пространстве систему координат, в которой первые несколько координат отвечают подпространству $L$, а последние -- подпространству $L^{\perp}$, то левый верхний угол матрицы оператора $\widetilde A$ и будет требуемой матрицей (а все остальные элементы матрицы этого оператора будут просто нулями).