Хорошо. Пусть у нас пространство произвольной размерности, и в нём задан эллипсоид неравенством

. И мы хотим спроецировать его на некоторое подпространство

(любой размерности). Произвольный вектор запишем как

, где

и

, т.е.

(имеются в виду соответствующие ортопроекторы).
Элемент

принадлежит проекции эллипсоида тогда и только тогда, когда для данного

неравенство

имеет хоть одно решение

. Минимизируем первые два слагаемых при фиксированном

:

где

и

-- это ортогональное сужение оператора

на подпространство

. Минимум достигается тогда и только тогда, когда

, где под

понимается симметричный оператор, равный действительно обратному к

на подпространстве

и тождественному нулю на

(т.е., фактически,

). Сам минимум равен

Таким образом, условие на

сводится к:

. А поскольку

, окончательно получаем:

(напомню, что

-- это результат обращения оператора

на только подпространстве

).
Это неравенство выделяет в пространстве цилиндр, основанием которого будет искомый эллипсоид в подпространстве

. Если выбрать в пространстве систему координат, в которой первые несколько координат отвечают подпространству

, а последние -- подпространству

, то левый верхний угол матрицы оператора

и будет требуемой матрицей (а все остальные элементы матрицы этого оператора будут просто нулями).