БТФ и сумма точных квадратов

[shwedka]

Iosif1 в сообщении #263821 писал(а):

Когда я читаю, как меня понимают, становится не по себе.

Вас понимают так, как Вы пишете. Не вижу смысла в обсуждении ТАКОГО текста.
Возможно, что идеи у Вас есть, но в изложении они полностью скрыты.

[serval]

Цитата:

Так подскажите ссылкой, чтобы я смог списать.

Мой топик "ВТФ и дискретная геометрия" topic193-120.html
Читайте последнюю страницу, посты от 14 и 16 ноября.

[Iosif1]

serval в сообщении #264366 писал(а):

Читайте последнюю страницу, посты от 14 и 16 ноября.

Во-первых, спасибо.
Изложение последовательное и доступное, но я ещё разбираюсь.
Если возникнут вопросы – в вашей теме.
Правда, я ожидал увидеть формулы для частей треугольника Паскаля, содержащего построчно величины точных квадратов с нечётными основаниями, по аналогии с формулами:

$a_n=a_1+d(n-1);

$S_n=(a_1+a_n)/2*n$; (1)

$S_n=(2*a_1+d(n-1))/2*n$; (2)

Так как, пытаюсь формализовать закономерность существования «Решета для БТФ». Верно, я не правильно Вас понял.
Пытаюсь изложить это описанием «прямого пересчёта» Формулировка ваша.

[serval]

Цитата:

формулы для частей треугольника Паскаля, содержащего построчно величины точных квадратов с нечётными основаниями

Это очень просто: берите все нечётные строки треугольника Паскаля и скалярно умножайте на третью строку $Q$-треугольника - получите все квадраты нечётных чисел.
Нужны кубы - умножайте те же строки треугольника Паскаля на четвёртую строку $Q$-треугольника.
По этой же схеме можете получить любые степени $n$ натуральных чисел беря для этого $n+1$ строку $Q$-треугольника.

[Iosif1]

shwedka в сообщении #263825 писал(а):

Возможно, что идеи у Вас есть, но в изложении они полностью скрыты.

Мелким шрифтом справочный материал, позволяющий ознакомиться с обозначениями, используемые в доказательстве.
Необходимо доказать, что для любого натурального $n>2$ уравнение

$a^3+b^3=c^3$; (А)

не имеет натуральных решений $a$, $b$и $c$.

Предположим, что равенство (А) при $n=3$ истинно.
Вводим обозначения:

$a=a_i*a_x$ (1)
$b=b_i*b_x$ (2)
$c=c_i*c_x$ (3),

где все сомножители взаимно простые.


$c-a=D_b=b_i^3/3$; (4)

$c-b=D_a=a_i^3$; (5)

$a+b=D_c=c_i^3$; (6)

$k=a+b-c=a_i*b_i*c_i$; (7)

$k^3=3*D_a*D_b*D_c$; (8)

$Q_{2a}=[(2a)^3-2a]/6$; (9)



Формализованное выражение (8) дано для рассмотрения уравнения (А) при $n=3$.

Доказательство основано на закономерности:

$Q_{2a}=[(2*a)^3-2a]/6=[1^2+3^2+5^2+…+(2a-1)^2]$; (A-1)

И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. Справочник по математике. Для инженеров и учащихся ВТУЗов. "Тойбнер", Лейпциг, 1979. "Наука", Москва, 1980.


Вариант доказательства БТФ №10.

Если количество точных квадратов в величине $Q_{2m}$ не кратно трём, обеспечивается целочисленное частное при выполнении расчёта по формуле:

$(Q_{2m}-m)/m=p_i$; (М.1),

где $m$ - основание точного куба.

Если количество точных квадратов в величине $Q_{2m}$ не кратно трём, обеспечивается целочисленное частное при выполнении расчёта по формуле:
$(Q_{2m}-m-2m/3)/m=p_j$; (М.2)

При этом, числовой ряд из последовательно получаемых частных от деления принимает вид:
$0,4,10,20,32,46,62…$, (М)

где изменения между приращениями между разностями величин числового ряда М, начиная со значения 10 (на четвёртом значении), представлены арифметической прогрессией с шагом, равным двум.
$10,12,14,16,18…$, (М)
Данная закономерность найдена на основании представления величины $Q_{2m}$ посредством использования сомножителей. определяемых по формуле:

$X_j=2*(2j)^2-1$,

где

$j$ (14.1)- числа натурального ряда чисел.

Это позволяет на основании величины $p$ определять значение $Q_{2m}$, соответствующее этой величине $p$, на основании величины заданного основания.
Для варианта (М.1) имеем:

$Q_{2m}=p_i*m+m$; (M.1.1)

Для варианта (М.2) имеем:

$Q_{2m}=p_i*m+2*m/3+m$; (M.2.1)

Так как для конструирования предполагаемого равенства (А) используется величина $Q_{2c}-Q_{2a}$ (15.1), рассмотрим, что может представлять эта разность.
При конструировании разности, мы обязаны в качестве величин $Q_{2c}$ и $Q_{2a}$, подбирать основания, расположенные через интервал, кратный трём, при условии, что выбранные величины были определены по формуле (M.1.1).
На основании выражения (M.1.1) имеем возможность записать разность (15.1) в виде:

$p_{2c}*c+c-p_{2a}*a-a=$

$p_{c}*D_b+D_b-(p_{2c}- p_{2a})*a$; (M.1.3)

На основании выражения (M.1.3) можно утверждать, что для того, чтобы конструируемая разность (15.1) содержала сомножители три, необходимо, чтобы разность $(p_{2c}-p_{2a})$ содержала такие сомножители.
Возможно ли это?
Разности (15.1), уменьшаемые и вычитаемые для которых, рассчитаны по формуле (M.2.1) содержат сомножители три.
Это обеспечивается в результате осуществления дополнительной корректировки, осуществляемой на основании использования величины $2m/3$.
В результате проводимого анализа установлено, что мы не можем обеспечить разность (15.1) требуемого наполнения между величинами $Q$, рассчитанными для оснований не кратных трём, но принадлежащих к единому классу вычетов по модулю $3^j$.
Это объясняется тем, что арифметические прогрессии, по которым строятся точные квадраты, и суммы точных квадратов смещены на три шага, и без дополнительной корректировки не могут «пересечься» между собой для обеспечения разности, кратной трём.
между величинами $Q$, принадлежащими к единому классу вычетов по mod 3, что и является подтверждением справедливости БТФ.

Я понимаю, что изложение далеко от совершенства.
Надеюсь на понимание не простоты задачи по изложению материала и на полезные советы.

[venco]

Пока shwedka отсутствует...

Iosif1 в сообщении #265134 писал(а):

При этом, числовой ряд из последовательно получаемых частных от деления принимает вид:
$0,4,10,20,32,46,62…$, (М)

Здесь не 62, а 64.

Iosif1 в сообщении #265134 писал(а):

где изменения между приращениями между разностями величин числового ряда М, начиная со значения 10 (на четвёртом значении), представлены арифметической прогрессией с шагом, равным двум.
$10,12,14,16,18…$, (М)

Соответственно, здесь не ...16,18..., а ...18,20..., и арифметической прогрессии также нет.

Дальше можно не читать?

[shwedka]

shwedka Будет здесь отсутствовать все время, поскольку

Iosif1 в сообщении #265134 писал(а):

изложение далеко от совершенства,

так далеко, как только можно представить. словесные опписания конструкций и рассуждений совершенно невнятны. Автор отказывается от моих требований записать их формулами.

Переписывать с Вами построчно, как с Семеном, Любарцевым,... не намерена.
Iosif1, поробуйте разбить Ваш 'поток сознания' на маленькие части и изложите их:
Формулировка... Доказательство...

[Iosif1]

venco в сообщении #265156 писал(а):

Iosif1 в сообщении #265134 писал(а):
При этом, числовой ряд из последовательно получаемых частных от деления принимает вид:
$0,4,10,20,32,46,62…$, (М)
Здесь не 62, а 64.

Правильно, 64, описался.

venco в сообщении #265156 писал(а):

Iosif1 в сообщении #265134 писал(а):
где изменения между приращениями между разностями величин числового ряда М, начиная со значения 10 (на четвёртом значении), представлены арифметической прогрессией с шагом, равным двум.
$10,12,14,16,18…$, (М)
Соответственно, здесь не ...16,18..., а ...18,20..., и арифметической прогрессии также нет.

Дальше можно не читать?

Действительно, арифметическая прогрессия со ступеньками:
первый порожек - две ступеньки; второй порожек - три ступеньки; третий порожек - три ступеньки и так далее.
Поэтому, в каждой разности $Q_{2c}-Q_{2a}$, для приведения её к виду $Q_{2b}+k/3$ нужно выделять неизменную величину для конструирования двух первых ступенек. Конечно, это только рассуждения. Однако, рассматриваемая в дальнейшем разность $p_{2c}-p_{2a}$ приводит к противоречию, заключающемуся в том, что нам не удаётся обеспечить разность $Q_{2c}-Q_{2a}$ с требуемым количеством сомножителей три. Но, задаваясь значениями оснований, принадлежащих к единому классу вычетов по мод 3, это требование удовлетворяется. По моему мнению, это может свидетельствовать о том, что используемым построением учитываются закономерности построения точных квадратов в величинах $Q_{2m}$?

shwedka в сообщении #265162 писал(а):

shwedka Будет здесь отсутствовать все время, поскольку

Iosif1 в сообщении #265134 писал(а):

изложение далеко от совершенства,

так далеко, как только можно представить. словесные опписания конструкций и рассуждений совершенно невнятны. Автор отказывается от моих требований записать их формулами.

Переписывать с Вами построчно, как с Семеном, Любарцевым,... не намерена.
Iosif1, поробуйте разбить Ваш 'поток сознания' на маленькие части и изложите их:
Формулировка... Доказательство...

Задача 1:
Ознакомиться с Вашим опытом по написанию работы с Семёном Люберцевым.
Задача 2:
Попытаться разбить мой поток сознания на части.
К сожалению, всё записать формулами не получается.
В то же время, по моему мнению, удалось показать вариант определения величин $Q_{2m}$ через значения $p$, который привёл к противоречию?

[Iosif1]

serval в сообщении #264398 писал(а):

Это очень просто: берите все нечётные строки треугольника Паскаля и скалярно умножайте на третью строку $Q$-треугольника - получите все квадраты нечётных чисел.
Нужны кубы - умножайте те же строки треугольника Паскаля на четвёртую строку $Q$-треугольника.
По этой же схеме можете получить любые степени $n$ натуральных чисел беря для этого $n+1$ строку $Q$-треугольника.

А так можно?

Дополнение №1 к доказательству БТФ

Необходимо доказать, что для любого натурального $n>2$ уравнение

$a^3+b^3=c^3$; (А)

не имеет натуральных решений $a$, $b$и $c$.

Вводим обозначения:

$a=a_i*a_x$ (1)
$b=b_i*b_x$ (2)
$c=c_i*c_x$ (3),

где все сомножители взаимно простые.


$c-a=D_b=b_i^3/3$; (4)

$c-b=D_a=a_i^3$; (5)

$a+b=D_c=c_i^3$; (6)

$k=a+b-c=a_i*b_i*c_i$; (7)

$k^3=3*D_a*D_b*D_c$; (8)

$Q__{2a}=[(2a)^3-2a]/6$; (9)



Формализованное выражение (8) дано для рассмотрения уравнения (А) при $n=3$.

Доказательство основано на закономерности:

$Q_{2a}=[(2*a)^3-2a]/6=[1^2+3^2+5^2+…+(2a-1)^2]$; (A-1)

И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. Справочник по математике. Для инженеров и учащихся ВТУЗов. "Тойбнер", Лейпциг, 1979. "Наука", Москва, 1980.
Расчёт величины $Q_{2m}$ не обеспечивает достаточной наглядности.
Как только осуществляется переход на формализованное выражение (не оценивается цело численность значений – натуральность чисел), обеспечение равенства представляется возможным.
Зададимся целью обеспечить анализ построения разности двух кубов в целочисленном построении методом просчёта.
Существует ли возможность сделать это в формализованном и числовом вариантах.
Чтобы ответить на этот вопрос, вводим понятие диапазона.
Диапазон – рассматриваемое количество точных квадратов в существующей последовательности в величине, например, $Q_{2b}$, в количестве, например, $D_b$.
Также введём, понятие пенала.
Пенал, часть диапозона из количества точных квадратов в существующей последовательности, сумма которых рассматривается как единая величина (секция).
Количество точных квадратов в пенале может быть 1, 2, 3 и так далее. Соответственно: пенал 1, пенал 2, пенал 3 и так далее.
Каждому пеналу соответствует секция – количественная оценка пенала.
При необходимости пеналу придаётся конкретный номер на основании последовательности расположения пеналов. Номера секций и пеналов одинаковые.
Полный диапазон – диапазон, в котором размещается целочисленное количество полных пеналов.
Неполный диапазон – диапазон, в котором не все пеналы размещаются целиком.
Если разделить диапазон на пеналы, получаем возможность представлять каждый пенал как сумму, состоящую максимально из трёх слагаемых: базиса, средней части и надстройки.
Базис $(B_j)$ – сумма точных квадратов первой секции.
Средняя часть – произведение расчётного сомножителя $X_j$ на номер пенала $(N_J)$ и на сумму чисел натурального ряда ($L_j$) от $1$ до $(j-1)$, где $j$ - порядковый номер пенала:
$j=1; (1-1)*1/2=0$;
$j=2; (2-1)*2/2=1$;
$j=3; (3-1)*3/2=3$;
$j=4; (4-1)*4/2=6$;
$j=5; (5-1)*5/2=10$...
Формула для определения расчётного сомножителя:
$X_j=2*(2j)^2-1$, где $j$ - натуральный ряд чисел (номера пеналов).
То есть, если используется пенал 1 - $X_j=7$; пенал 2 - $X_j=31$; пенал 3 - $X_j=71$; пенал 4 - $X_j=127$...
Надстройка – произведение номера пенала на сомножитель $L_j$.

Таким образом, каждый пенал полного диапозона может быть представлен: базисом, средней частью и надстройкой.
Сумма базисов считается как произведение базиса используемого пенала на количество пеналов в рассматриваемом полном диапазоне.
А количество пеналов это всегда величина основание $m$ рассматриваемого равенства (А).
Для обеспечения полноты рассматриваемого диапозона достаточно использовать увеличение основания $2m$ в количество раз, равное номеру пенала.
Поэтому равенство (А), приведенное к виду:

$[Q__{2a}+2a]+[(Q_{2c}-Q_{2a})+2D_b=[ Q__{2c}+2c$; (А-1)

может быть всегда представлено в виде, где все величины $Q$ являются полными интервалами для пенала с любым номером.
Для того, чтобы ответить на вопрос:
Что представляет величина надстройки остаётся научиться определять сумму величин $L_j$ всего диапозона.
Эта величина определяется по формуле:

$(m^3-m)/6$.

Таким образом, каждый полный диапазон может быть выражен в формализованном виде как:

$Q_{2m}=B*m+X_j*Q_m*N_j+ Q_m*N_j$; (В-1)

Отметим, что для того чтобы обеспечить структурное построение разности, например, при увеличении оснований равенства (А) в четыре раза, необходимо просчитать следующую сумму:

$10*k/6+[31*2*(-k/6)]+2*(-k/6)=10*k-64*k/6=-4k/6$

Результат, полученный в результате сложения, при увеличении в 6 раз, обеспечивает величину, которую необходимо добавить к величине $4*D_b$, чтобы получить величину $4b$.
В формализованном выражении всё получается так, как будто равенство обеспечивается.
Что же является препятствием обеспечения равенства (А) в натуральных числах?
Используемым построением (В-1) обеспечивается наглядность величины, требуемой для восполнения величины базиса на интервале $k$.
Восполняя величину $10*D_b$ до величины $10*b$, используются избыточные значения средней части и надстройки. При этом мы имеем возможность выбирать требуемую величину только порциями, равными $64=2*31+2*1$. (Основание куба должно быть кратно 4- рём)
Минимальное количество порций, которое обеспечит величину, кратную 10, равно 10. Но в этом случае обеспечивается кратность 10, но не обеспечиваются сомножители, присутствующие в величине $k$, кроме сомножителя 2. Да и те в несоответствующих степенях. Оставим пока ответ на вопрос: возможно ли это завершить? Пока можно утверждать, что минимальное количество порций, необходимое для восполнения базиса при использовании пенала 2 не может быть меньше чем $10*64*Z$.
И так как величина $k$ может конструироваться только порцион но, это приводит к увеличению предполагаемых числовых значений.
Рассмотрим пример, объясняющий масштабы такого увеличения.
Принимаем величину $b=18$.
Чтобы иметь возможность представления диапазона через пенал 2, необходимо увеличить основание в четыре $2*2$ раза.
$4b=18*4=72$;
$Q_{72}=(72^3-72)/6=62196$;
Проводим расчёт величины $Q_{72}$ на основании найденной формализованной закономерности.
$Q_{72}=18*10+31*2*(18^3-18)/6+2*(18^3-18)/6=62196$;
При этом величина порции равна $2*31+2=64$, а минимальная величина, используемая для восполнения величины $b$ равна $64*10$.
Рассмотрим, какой величины порция и минимальная корректирующая величина будет при использовании пенала 4.
$18*8=144$;
$Q_{144}=(144^3-144)/6=497640$;
Проводим расчёт величины $Q_{72}$ на основании найденной формализованной закономерности.
$Q_{144}=18*84+127*4*(18^3-18)/6+4*(18^3-18)/6=497640$;
При этом величина порции равна $127*4+4=512$.
Получаем, что при увеличении основания в два раза, величина порции увеличивается в восемь раз (в два раза увеличивается номер используемого пенала).
При этом минимальная корректирующая величина равна $84*512$.
А это означает, что и величина, требуемая на интервал, приходящийся на величину $k$, тоже должна быть увеличена ни в два раза.
Значить и величина $k/3$ тоже должна быть увеличена ни в два раза, как это предусматривается при преобразовании разности вида

$(Q_{4c}-{Q_4a})/6+D_{4b}$ к виду $(Q_{4b}+4b$;

по сравнению с преобразованием разности вида

$(Q_{8c}-{Q_8a})/6+D_{8b}$ к виду $(Q_{8b}+8b$.

Это противоречие и бесконечное количество вариантов рассмотрения равенства (А) через пеналы различных номеров позволяют сделать вывод, что конструирование величины $k$ бесконечно, что свидетельствует о справедливости БТФ.
Что и требовалось доказать.

[Iosif1]

Расшифровка предшествующего поста. (Интереса не вызывающего).

Куб $6*Q_m$, умножив на 64 можно представить:

$6*(64*Q_m+10*m)+4*m$; (20-1)

Рассматривая разность кубов равенства (А) (см. предыдущий пост), увеличенную в 64 раза, соответственно:

$6*[(64*Q_c-64*Q_a)+(10*c-10*a)]+4*D_b$; (20-2)

Равенство при этом не нарушается.
По аналогии разность, при увеличении равенства (А) в восемь раз:

$6*[(64*Q_{c/2}-64*Q_{a/2})+(10*c/2-10*a/2)]+2*D_b$; (20-3)

Для приведения разности (20-3) к виду (20-1), через основание $b$, четыре разности $(Q_{c/2}-Q_{a/2})$ должны быть использованы для восполнения величины $2*D_b$ до величины
$2*b$.
Остальные 60, на восполнение величины $(10*c/2-10*a/2)$ до величины $10*b/2$.
Величина $Q_m$ в целочисленном выражении может быть представлена многовариантно.
Количество вариантов зависит от количества сомножителей, присутствующих в основании. А именно, через пеналы 1,2, 3, 4 …
Как можно в формализованном виде представлять величину $Q_{2m} $ для первоначально не чётного основания?
Первый вариант:
Представление $Q_{2m}$ куба с удвоенным нечётным основанием через пенал 1.


$ Q_{2m}=m/2+8*Q_m*1$
$[(17*2)^3-17]/6=6545$

$8,5*2*1+{2*[(1*2)^2]-1}*Q_{17}+1* Q_{17}=8,5*2*1+8*816=6545$
Использование пенала 1 возможно, так как можно предполагать наличие дополнительного сомножителя $1^2$.

Представление $Q_{2m}$ куба с удвоенным нечётным основанием через пенал 2.

Второй вариант усложняется тем, что при его использовании необходимо учитывать точный квадрат $(2m-1)^2$, который необходимо отбрасывать для обеспечения кратности в резерв. Без этого точного квадрата имеем:
$ Q_{[(2m-2)/2-1]/2}+32*Q_{(m-1)/2}*2=(m-1)/2*10+32*Q_{(m-1)/2}*2$;
Пример:
$m=17$; $33^2=1089$
$(17-1)/2*10+32*Q_{(17-1)/2}*2=8*10+32*84*2=5456$
$(2m-1)^2=33^2=1089$;
$5456+1089=6545$; $Q_{34}=6545$;
И по первому варианту и по второму вариантам расчёта получаем тождественные результаты.
То есть, с добавлением, не учтённого точного квадрата, получаем тоже величину $Q_{2m}$.
При этом величина $Q_{2m}$ может быть представлена как сумма, состоящая из 64 величин $Q_{m/2}$, произведения $10*(m-1)/2$ и точного неучтённого квадрата.
Это позволяет нам рассматривать равенство (А), при увеличении оснований равенства в два раза через пеналы 2.
Действительно, для того, чтобы куб мог быть выражен через пенал 2 с целочисленными значениями $Q_m$ необходимо, чтобы основание степени содержало сомножитель $2^2$.
Поэтому, если основание $b$ содержит сомножитель $2^1$, то после увеличения оснований в два раза необходимое условие обеспечивается.

Рассматривая равенство (А-1), используя пенал 2, величина $Q_{2b} $ можем быть выражена в следующем виде:

$Q_{2c}-Q_{2a}=[(c-1)/2*10+32*Q_{(c-1)/2}*2]-$
$(a-1)/2 *10+32*Q_{(a-1)/2}*2+[(2c-1)^2]-[(2a-1)^2]=$
$D_b/2*10+32*[(Q_{(c-1)/2}-Q{(a-1)/2})*2]$; (Ф-1)

Остаётся вернуть разность точных квадратов ($P$), занесённых в резерв:
$P=(2c-2a)*2*(c+a-1)$ (Р)
Раз в принятом представлении разность $Q_{(c-1)/2}-Q_{(a-1)/2}$ содержится тоже в количестве 64 в целочисленных значениях, и величина $Q_{b/2}$ так же, резерв (Р), после восполнения величины $10*D_{b/4}$ до величины $10*D_{b/2}$ должен делиться без остатка на 64.
В противном случае, предполагаемое равенство состояться не может.
Какая величина должна быть задействована для восполнения величины $10*D_{b/2}$ до величины $b/2*10$?
Эта величина равна $k/2*10$.
Чему же равен остаток резерва после восполнения величины $10*D_{b/2}$ до величины $b/2*10$?
Этот остаток будет содержать сомножитель 2 в том количестве, в котором этот сомножитель присутствует в величине $k$.*

И он, в данном представлении должен делиться без остатка на 64.
Это будет возможно только в том случае, если величина $k$ содержит такое количество сомножителей два или большее количество таких сомножителей.
Значить деление остатка резерва на 64 (без остатка) станет возможно только при условии, если основание $b$ содержит сомножители 2 в количестве $2^6$.
Чтобы показать, что и такое равенство не возможно, проведём анализ равенства посредством использования пенала 4, пенала 8, пенала 16…
Пример:
$m=17$; $33^2=1089$
$(17-1)/4*10+32*Q_{(17-1)/4}*4=8*10+32*84*2=5456$
$(2m-1)^2=33^2=1089$;
$5456+1089=6545$; $Q_{34}=6545$;
Теперь остаток от резерва должен делиться без остатка на $4*128=2^9$.
Чем больше сомножителей два в величине $b$, тем используемый номер пенала тоже может быть увеличен, и так до бесконечности.
Аналогично можно использовать для анализа и пеналы, кратные трём, или любому другому сомножителю, присутствующему в основании $b$.**

[Iosif1]

Расчёты и объяснения .
(Просмотри два предыдущих поста)
Никто не реагирует - легко давать ссылки: преимущество.

Пример (Т-1)
Первый вариант расчёта:
$Q_{2m}=Q_{9*2*5}=121485$
$9*2*5$ - рассматриваемое основание (основание для наглядности приводиться в числовом выражении) .


Второй вариант расчёта:
$3*5*35+216*560=525+120960=121485$
(Используется вариант представления величины $Q_{2m}$ через пенал 3).




Второй вариант в формализованном выражении:
$(9*2*5)/6*Q_6+2*(3*2)^2*3*Q_{15}=121485$
Или:

$9*2*5/6*Q_6+6^3*Q_{15}=121485$


Наличие в данном формализованном выражении величин
$Q_m$, $D_m$, $k$, $a$, $c$, $(c-a)$ позволяет производить анализ получение величины $b$.
То есть в принятом выражении, при использовании построения через пенал 3, основание рассматриваемого куба уменьшается в шесть раз $9*2*5/6$; величина $Q_{15}$, участвующая во втором слагаемом, соответствует этому уменьшенному основанию.


Итак, при рассмотрении равенства:

$a^3+b^3=c^3$;

Равенство с основаниями, увеличенными в два раза:

$(2*a)^3+(2*b)^3=(2*c)^3$

И приведённое к виду:


$[Q_{2a}+2*a]+ [Q_{2c}-Q_{2a}+(2*c-2*a)]= [Q_{2c}+2*c]$; (А)

Могут также рассматриваться на основании использования различных пеналов, например, пенала 3.
(Задаёмся условием, что сомножитель $3^2$ присутствуют в основании $b$).
Для того, чтобы все $Q_{2m}$ были выражены через пенал 3, уменьшаем основания $2a$ и $2c$ на 2 (два), переводя последнии точные квадраты в резерв.
Рассмотрим преобразование на конкретном примере.
Пример (Т-2)
$a=19$; $c=19+216=235$;
$2*a=2*19=38$; $2*c=2*(19+216)=2*235=470$;
1. Расчёт по основанию $a$:
$Q_{38}=9139$; Резерв: $37^2=1369$;
$Q_{36}=7770$; Очевидно $7770+1369=9139$
Это даёт право рассматривать $Q_{38}=9139$ через $Q_{36}=7770$;

Получение результата при параллельном расчёте:

$36=3*3*2*2$
$6*35+216*35=210+7560=7770$

1. Расчёт по основанию $c$:
$Q_{470}=17303755$; Резерв: $469^2=219961$
$Q_{468}=17083794$; Очевидно $12083794+219961=17303755$
Это даёт право рассматривать $Q_{470}=17303755$ через $Q_{468}=17083794$;

Получение результата при параллельном расчёте:

$468=3*3*2*2*13$
$78*35+216*79079=2730+17081064=17083794$
В данном примере величина
$D_{2b}=470-38=432=3*3*3*2*2*2*2$
не соответствует требованиям построения точного куба.
(Значения выбраны для наглядности, с целью обеспечения проведения просчёта интересующих нас сомножителей в конкретных формализованных выражениях, так как доказательство основано на сопоставлении величин $D_{b}/6$ и $k/6$. Нас интересует уменьшение сомножителей в разности $(c/6-a/6)$, принимаемой за величину $D_b/6$. )

Итак, для того, чтобы величины $Q_{2a}$, $Q_{2b}$ и $Q_{2c}$ выразить через единый пенал используется построение равенства (А) с использованием резерва.
При расчёте с использованием резерва:
Резерв:
$(2c-1)^2-(2a-1)^2=2*D_b*2(c+a-1)$

Определяем количество сомножителей, приходящихся на каждую конкретную величину $Q_{15}$ (см. пример Т-1).

Просчитаем сколько сомножителей два и три в величине $6^3=216$.
$216=2^3*3^3$
Просчитаем сколько таких же сомножителей в величине резерва при наличии аналогичных сомножителей в основании $b$ в количестве $2^1$ и $3^2$:
$2*D_b*2(c+a-1)=2^5*3^5$
На каждую величину $Q_{15}$ приходиться величина с сомножителями $2^2$ и $3^2$.
Теперь порционно можем выбирать из каждой величины $Q_{15}$ величину, соответствующую величине $k/6$.
Любое дробление оснований и величин $Q$ позволяет предположить, что нам удастся обеспечить порционное прибавление величины $k/2f$, где $f$ - номер пенала, для получения в анализируемой разности величины $b/6$.
И это действительно на основании анализа просчётов сомножителей выполнимо.
Это же можно просчитать и на примере (Т-2).
Но зададимся вопросом, какая величина используется в качестве $D_{b}/6$?
На каждую величину $(c/6-a/6)=D_b/6$, в приводимом варианте, приходиться шесть величин $k/6$.
Зададимся вопросом: сопоставимы ли величины
$(c/6-a/6)=D_b/6$ и $k/36$?
Если в основании куба теряется один сомножитель, то в величине $D$ должен теряться этот сомножитель в кубе, а теряется только один сомножитель.
Стремясь опровергнуть БТФ, мы конструируем основания таким образом, чтобы величина $2*D_b$ содержала требуемое количество просчитываемых сомножителей.
И это нам удаётся, что и является одним из препятствий для доказательства.
При построении величины $Q_{2m}$ через пеналы не обеспечивается требуемое наполнение величины $D_b/6$.
Из величины $D_b$, нами заданной, исчезает единичный сомножитель $n$, так как конструирование этой величины на «нижнем» уровне от нас не зависит. В результате чего обеспечивается наглядность несоответствия величин $D_{b}/6$ и $k/6$.
Не удаётся добиться при используемом выражении величины $Q_{2b}$, величины $D_{b}/6$ требуемого наполнения сомножителями, соответствующими используемому пеналу.
Обеспечивая приращение величины $k/6$ с требуемым наполнением просчитываемых сомножителей, производим его «стыковку» с величиной, c не соответствующей наполнению аналогичными сомножителями.


Если есть не замеченные мной подводные камни, просьба, указать.

[Iosif1]

Следующая попытка изложение доказательства БТФ
(повторение – мать учения)

Для всех читающих, чтобы было удобней читать, для изучающих – с этой же целью; для наделённых опытом изложения– с целью получения полезной консультации; изложение. По мнению автора, удобно изучать с параллельным рассмотрением показательного расчёта, расположенного в конце поста.



Необходимо доказать, что для любого натурального $n>2$ уравнение

$a^3+b^3=c^3$; (А)

не имеет натуральных решений $a$, $b$и $c$.

1. Равенство (А) для куба можно записать:

$[6*Q_{2a}+2a]+[(6*Q_{2c}-6*Q_{2a})+2*D_b]=[6*Q_{2c}+2c]$; (A1)

И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. Справочник по математике. Для инженеров и учащихся ВТУЗов. "Тойбнер", Лейпциг, 1979. "Наука", Москва, 1980.

2. Для приведения равенства (А1) к виду:

$[6*Q_{2a}+2a]+[(6*Q_{2b}+2*b]=[6*Q_{2c}+2c]$; (A2)

Необходимо вычесть и величины $Q_{2c}-Q_{2a}$ величину $k/3$.
Создаётся впечатление, что это возможно сделать таким образом, чтобы и разность $Q_{2c}-Q_{2a}$ и величина $2*D_b$ в результате такого преобразования превратились соответственно в $Q_{2b}$ и в $2b$.
3. Равенство (А1) записано для условия, когда основания равенства (А) увеличены в два раза.
4. Для условия, когда основания равенства (А) не увеличены, имеем:
$[24*Q_a+a]+[(6*Q_{2b}+2*b]=[24*Q_c+c]$; (A2)

Или:

$[24*Q_a}+a]+[(6*Q_{2c}-6*Q_{2a})+2*D_b]=[24*Q_c+c]$; (AA1)

5. Устанавливаем зависимость между кубами, выраженными через $Q_{2m}$ и $Q_m$:

Например:

$8*[24*Q_m+m]=8*[24*{m/3+27*Q_{m/3}]=$

$6*[m/3*35+216*(Q_{m/3}*4)]$; (AA2)

Что соответствует значению куба, выраженному через $Q_{2m}$.
Преобразования можно осуществлять как для левой части равенства, так и для правой части равенства, определяя $1/8$ его часть.
Следует заметить, что величины первых слагаемых в выражениях $Q$ в получаемой части равенства осуществляется за счёт первых слагаемых в выражениях $Q$ исходной части равенства, а величины вторых слагаемых в получаемой части равенства – за счёт вторых слагаемых в исходной части равенства, в соответствии с существующими коэффициентами.
Коэффициент перед величинами $Q_{m/w}$ есть точный куб. Количество $Q_{m/w}$, выносимых за скобки равно величине $w$.

Пример:

$Q_{7*3}=385=7*Q_3+27*Q_{7}=7*1+27*14=7+278$;

$8*[24*Q_{7*3}+21]=8*9261+42=6*[7*35+216*(14*4)+42=$
$74088=216

Дополнительным сомножителем для величин в скобках («В скобках» мы для краткости называем величины определяющие величину $Q$ ) является сомножитель $32$.
$35=32+3$.
Так как основание увеличивается в два раза, два исходных основания остаются за скобками; шесть исходных оснований переходят слагаемым к величине, полученной как произведение: $32+6/2=35$.

6. На основании равенства (АА1) можно записать:



$(2*b)^3=8*{24[(Q_c-Q_a)/8+D_b/2*24]+D_b/2}$;


Это выражение, на основании выражения (АА2) должно быть преобразовано к виду:

$(2*b)^2=8*(24*Q_{b/2}+b/2)$;

7. В конечном счёте нас интересует величина разностей

$(Q_c-Q_a)$, приведённых к значениям, соответствующим выражению:

$8*[24*(m/3+27*R_p)+D_b]$, где: $R_p$ - приведенная разность,

Из разности:

$6*(b/6*35+216*Q_{b/6})+2*D_b$; (AA4)

Так как порционное извлечение из каждой такой разности конкретного значения и определяет наполнение предполагаемой величины $k/6$ или $k/24$.
Для того, чтобы ответить на поставленный вопрос, проанализируем все этапы преобразования этих разностей.
Для этого, изначально рассмотрим равенство (А2), что позволяет выражать величины $Q_{2a}$ и $Q_{2c}$ через пеналы $3$ и $2*3$.
(Понятие пенала можно посмотреть, при желании, в предыдущих постах. В то же время, пеналом можно именовать делитель, используемый для дробления основания степени в выражении в скобках).
Как показано в предыдущих постах, такая возможность обеспечивается посредством использования резервов, конкретно величин $(2*a-1)^2$ и $(2*c-1)^2$, которые возвращаются в конструируемую степень $b^3$ величиной
$(2*c-1)^2-(2*a-1)^2=4*D_b*(c+a-1)$;
Сначала для разностей, обуславливаемых кубами с удвоенными основаниями (первый этап), а затем, для разностей, с заданными основаниями (второй этап).
На первом этапе резерв делится на $216$. Каждая порция содержит сомножитель $2^2$.
На втором этапе – каждая порция теряет и этот сомножитель, оставаясь целочисленной.
За скобками остаётся величина $2*D_b$.
Распределение этой величины в скобках и за скобками принимаем аналогично преобразованию величины $2*b$.
Таким образом, мы получаем болванку, которая должна превратиться в выражение:

$24*(b/3*1+27*Q_b)+b$; (AA4)

В результате проведенного анализа получаем ответ, что все порции в болванке целочисленные.
Такими же они должны оставаться и в приведенном выражении.
Поэтому, для обеспечения величины $k/2*24$, от каждой порции можно вычесть целочисленное значение.
Для рассматриваемого варианта необходимо для получения величины $k/2$ использовать $24$ равных частей.
Если мы задаёмся, что $D_b$ содержит сомножитель $2^3$, мы получаем, вместо нечётного значения $k/2$, $k/2$, содержащее величину $2^3$, что не соответствует требованиям конструирования.
Увеличение предполагаемого наполнения основания $b$, также не приводит к соответствию предполагаемого основания, и основания, соответствующего получаемой величине $k/2$.

Проведение показательного расчёта (может так станет понятней)

1. Выбираем основания:

$a=19; c=19+3^5*2^3=1963$;

2. Увеличиваем основания в два раза:

$2*a=2*19; 2*c=2*(19+3^5*2^3)=2*1963=3926$;

3. Уменьшаем каждое из оснований на 2:

$(2*a-2)=38-2=36; (2c-2)=3926-2=3924$;

4. Определяем резерв, который используется для восполнения порций:

$(3926-1)^2-(38-1)^2=15405625-1369=15404256$;

5. Переводим расчет $Q_{2c-2}$ и $Q_{2a-2}$ с использованием пенала 3 (с проверкой):

a) $Q_{3924}=10070144850=(654*35+216*46620935)=$

b) $Q_{36}=7770=(6*35+216*35)=

a-1) $(622890+10070121960)$
b-1) $210+7560)$

разность: $648*35+216*46620900$; (Ф)

6. Теперь порционно возвращаем резерв в разность (Ф), чтобы перейти к рассмотрению заданных кубов с удвоенными основаниями:
(Для этого резерв делится на 216)

В результате:
$6*[648*35+216*(46620900+71316)]+3888=$

$6[22680+10100922912]+3888=60513251904$

Проверка: $3926^3-38^3=60513306776-54872=60513251904$;

На основании выше изложенного установлено, что используемой методикой расчёта обеспечивается порционное представление разности кубов с удвоенными основаниями.
Остаётся осуществить перевод к виду, где используются заданные основания кубов.

$b^3=24*[648*1+27*(46620900+71316)/4]+1944=$

$24*[648+27*11673054]+1944=7564156488$;

Проверка: $1963^3-19^3=7564156488$;

Добившись тождественности можно утверждать, что используемый метод расчёта позволяет представлять разность через пенал 3.
В результате чего легко установить, что порционный отбор величин от целочисленных порций не позволяет обеспечить требуемое наполнение величины $k$ сомножителями $2$.
Для данного варианта дополнительным сомножителем к отбираемой порции является сомножитель $24$ (24 порции предназначены для обеспечения величины $b/2$, и три порции выносятся за скобки, с последующим умножением на 24).
Несоответствие сомножителей два и является доказательством справедливости БТФ. Что и требовалось доказать.

P.S. Просьба! Напишите о непонятном, или плохо объяснённом.
Автору очень хочется.
Замеченные описки постараюсь исправить, вряд ли в этом посте, время для ремонта маловато. Хорошо, что пока не лимитируется пространство.

[venco]

Iosif1 в сообщении #290085 писал(а):

P.S. Просьба! Напишите о непонятном, или плохо объяснённом.
Автору очень хочется.

Напишу лишь часть проблем, после которых остальное читать неохота.

Iosif1 в сообщении #290085 писал(а):

Необходимо доказать, что для любого натурального $n>2$ уравнение

$a^3+b^3=c^3$; (А)

Что такое $n$? Его нет в формуле.
Понятно, что это предложение осталось от от попыток доказать ВТФ в общем случае, но то, что вы его копируете из сообщения в сообщение, говорит о том, что вы сами свои сообщениия не читаете. Тогда какой смысл их читать другим?

Iosif1 в сообщении #290085 писал(а):

1. Равенство (А) для куба можно записать:

$[6*Q_{2a}+2a]+[(6*Q_{2c}-6*Q_{2a})+2*D_b]=[6*Q_{2c}+2c]$; (A1)

И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. Справочник по математике. Для инженеров и учащихся ВТУЗов. "Тойбнер", Лейпциг, 1979. "Наука", Москва, 1980.

Что такое $Q_{2a}$, $Q_{2c}$ и $D_b$? Учтите, что данного справочника у многих нет, поэтому отсылка к нему смысла не имеет.
Дальше читать не могу, т.к. ключевые понятия не определены.

[age]

venco в сообщении #290150 писал(а):

Что такое $Q_{2a}$, $Q_{2c}$ и $D_b$?

Я так думаю, что это заряды в точках $2a$ и $2c$, а $D_b$ - видимо особенный вид заряда (диэлектрик).

-- Чт фев 18, 2010 20:58:32 --

Iosif1
А что в ваших формулах означает $J_W$?

[Iosif1]

venco в сообщении #290150 писал(а):

Что такое $n$? Его нет в формуле.

"Он всё читает без улыбки и ищет, нет ли где ошибки: О горе, если не найдёт".
А если серьёзно, то $n$, в данном случае, равно $3$.
Для того, чтобы получить возможность что-то доказать, необходимо: заметить, осмыслить, формализовать, объяснить.
Не могу сказать, что три первых вызова были для меня легче пуха, но могу утвердительно сказать, что последний самый трудный.
Знаете, бывает так, что поддержка мизинцем оказывается главной.
По сути, Ваш вопрос не по существу. Не убеждайте меня, что $n$ поставило Вас в затруднительное положение. Но я ответил, и по, моему мнению, могу даже оправдаться.
Понимаете, я вырвал из контекста всего доказательства, доказательство, которое, как требует форум, выписано ддя третьей степени.

venco в сообщении #290150 писал(а):

Iosif1 в сообщении #290085 писал(а):
1. Равенство (А) для куба можно записать:

$[6*Q_{2a}+2a]+[(6*Q_{2c}-6*Q_{2a})+2*D_b]=[6*Q_{2c}+2c]$; (A1)

И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. Справочник по математике. Для инженеров и учащихся ВТУЗов. "Тойбнер", Лейпциг, 1979. "Наука", Москва, 1980.
Что такое $Q_{2a}$, $Q_{2c}$ и $D_b$? Учтите, что данного справочника у многих нет, поэтому отсылка к нему смысла не имеет.
Дальше читать не могу, т.к. ключевые понятия не определены.

Вы сами пишете, что я из поста в пост.
Значить, Вам не очень интересно.
Конечно, Вы не должны изучать мои опусы. Но, писать всё с самого начала, обо всём.
$Q_{2a}=[(2a)^3-2a]/6$, $Q_{2c}=[(2c)^3-2c]/6$ и $D_b=c-a$.

age в сообщении #290174 писал(а):

venco в сообщении #290150 писал(а):
Что такое $Q_{2a}$, $Q_{2c}$ и $D_b$?

Я так думаю, что это заряды в точках $2a$ и $2c$, а $D_b$ - видимо дискриминант уравнения $x^2+bx+1=0$ в зависимости от параметра $b$.

-"Мысль интересная!"
-"Интересная мысль!".
Помните такую миниатюру Щирвинта и Державина?
Вот Someone, в отличии от Вас меня за терминологию не бранил, а карал по существу.
Или shwedka, со своими вопросиками, с подвохом, но не без повода.
Правда, мне сдаётся, что это не просто так.
И она имеет право, так как, повторяю, как мне кажется, это та самая бывшая шведская студентка, Элин Оксенхельм, которая в 2003 году решила часть одной из трёх неразрешимых задач современной математики ("16 задача Гильберта").
Если это так, то ... А если нет, то всё равно в её насмешках не мало глубокого и полезного смысла.
А за весточку и Вам спасибо.