Задача по теории чисел

[maxmatem]

Задача состоит в нахождении наименьшего натурального числа $n$ которое:
$(n-1):7$
$(n+2):4$
$n:10$
$(n+3):11$
я под знаком $:$ имею в виду знак "Делится"

я перешел к с-ме сравнений, решил ее и получил,что $n=470$,но я не уверен,что это наименьшее. как ещё можно решать задачи такого сорта?(мне чувствуется, что задача где-то для 6-7 класса), да и и метод перебора - не вариант!

[ИСН]

Найдите, через сколько они будут повторяться - тут и станет очевидно, что это наименьшее (или что нет; я не проверял).

[maxmatem]

ладно! а методы решения какие есть? кроме сравнений!

[bot]

maxmatem в сообщении #263639 писал(а):

я перешел к с-ме сравнений, решил ее и получил,что $n=470$, но я не уверен,что это наименьшее

Самое естественное - это сравнения. Сравнение по модулю 10 заменяем на два - одно по модулю 2, другое по 5. Первое удаляем (оно следует из сравнения по модулю 4) и по китайской теореме об остатках получаем $n\equiv 470 \pmod{1540}$
Наименьшее натуральное в этом классе вычетов 470.

[VAL]

maxmatem в сообщении #263645 писал(а):

ладно! а методы решения какие есть? кроме сравнений!

Наберите в Google "китайская теорема об остатках". Это то, что Вам нужно.

Единственный нюанс - 10 и 4 не взаимно просты. Но это легко учесть, заменив два средних условия условием $n+10 \ \vdots \ 20$.

[Shtirlic]

Минимальное 162!!!

[12d3]

оно на 10 не делится.

[Shtirlic]

Точно, условие не увидел!!! Тогда 470 минимальное!!!