Лексикографические неравенства

[Егор]

Обозначим через $\succ$ отношение лексикографического порядка на $\mathbb Z^n$.
Подскажите, пожалуйста, где подробно разобраны неравенства вида
$Ax\succ b$
и системы таких неравенств.

Похоже, что большинство вопросов о таких неравенствах легко решается
с помощью приведения матриц к столбцовой ступенчатой форме.
Хотелось бы найти готовое изложение, чтобы не изобретать велосипед.

[lofar]

Видимо эта задача не является классической и вряд ли где-то описана. Вы верно отметили, что с помощью столбцовой нормальной формы можно описать совокупность решений. Какие еще свойства систем такого вида Вас интересуют?

[Егор]

Спасибо за ответ. О сложных задачах пока что не думал,
а простые (например, исследование системы $Ax\succ0$, $Bx\succ0$)
сразу решаются путём приведения матрицы $A$ к столбцовой нормальной форме.
Но формулировки получаются довольно громоздкие.
Поэтому хотелось бы узнать принятые названия и обозначения
хотя бы для следующих базовых понятий.

1. Множество всех таких $x\in\mathbb Z^n$, для которых $x\succ0$.

2. Матрицы $A\in\mathbb Z^{m\times n}$, удовлетворяющие условию:
$\mu(A,j+1)\ge\mu(A,j)+1$ для всех $j\in\{1,\ldots,n\}$, где

$$\mu(A,j)=\inf\{i\colon a_{ij}\ne0\}.$$

Как обычно, считаем $\inf\emptyset=+\infty$.
Подходит ли термин "столбцово ступенчатые матрицы"?

3. Столбцово ступенчатые матрицы, у которых
в каждом ненулевом столбце первый ненулевой элемент положителен.
Это те матрицы $A$, для которых из $x\succ0$ следует $Ax\succcurlyeq0$.
Пример:

$$ A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & 0 \\ -2 & 6 & 0 \end{array}\right) $$

4. Столбцово ступенчатые матрицы, у которых все столбцы ненулевые
и в каждом столбце первый ненулевой элемент положительный.
Это те матрицы $A$, для которых из $x\succ0$ следует $Ax\succ0$.
В квадратном случае это нижнетреугольные матрицы
с положительными элементами на главной диагонали.