Спасибо за ответ. О сложных задачах пока что не думал,
а простые (например, исследование системы

)
сразу решаются путём приведения матрицы

к столбцовой нормальной форме.
Но формулировки получаются довольно громоздкие.
Поэтому хотелось бы узнать принятые названия и обозначения
хотя бы для следующих базовых понятий.
1. Множество всех таких

, для которых

.
2. Матрицы

, удовлетворяющие условию:

для всех

, где
Как обычно, считаем

.
Подходит ли термин "столбцово ступенчатые матрицы"?
3. Столбцово ступенчатые матрицы, у которых
в каждом ненулевом столбце первый ненулевой элемент положителен.
Это те матрицы

, для которых из

следует

.
Пример:
4. Столбцово ступенчатые матрицы, у которых все столбцы ненулевые
и в каждом столбце первый ненулевой элемент положительный.
Это те матрицы

, для которых из

следует

.
В квадратном случае это нижнетреугольные матрицы
с положительными элементами на главной диагонали.