2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Лексикографические неравенства
Сообщение13.07.2006, 10:01 


22/06/05
164
Обозначим через $\succ$ отношение лексикографического порядка на $\mathbb Z^n$.
Подскажите, пожалуйста, где подробно разобраны неравенства вида
$Ax\succ b$
и системы таких неравенств.

Похоже, что большинство вопросов о таких неравенствах легко решается
с помощью приведения матриц к столбцовой ступенчатой форме.
Хотелось бы найти готовое изложение, чтобы не изобретать велосипед.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.07.2006, 02:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Видимо эта задача не является классической и вряд ли где-то описана. Вы верно отметили, что с помощью столбцовой нормальной формы можно описать совокупность решений. Какие еще свойства систем такого вида Вас интересуют?

 Профиль  
                  
 
 Названия и обозначения
Сообщение14.07.2006, 16:47 


22/06/05
164
Спасибо за ответ. О сложных задачах пока что не думал,
а простые (например, исследование системы $Ax\succ0$, $Bx\succ0$)
сразу решаются путём приведения матрицы $A$ к столбцовой нормальной форме.
Но формулировки получаются довольно громоздкие.
Поэтому хотелось бы узнать принятые названия и обозначения
хотя бы для следующих базовых понятий.

1. Множество всех таких $x\in\mathbb Z^n$, для которых $x\succ0$.

2. Матрицы $A\in\mathbb Z^{m\times n}$, удовлетворяющие условию:
$\mu(A,j+1)\ge\mu(A,j)+1$ для всех $j\in\{1,\ldots,n\}$, где
$$\mu(A,j)=\inf\{i\colon a_{ij}\ne0\}.$$
Как обычно, считаем $\inf\emptyset=+\infty$.
Подходит ли термин "столбцово ступенчатые матрицы"?

3. Столбцово ступенчатые матрицы, у которых
в каждом ненулевом столбце первый ненулевой элемент положителен.
Это те матрицы $A$, для которых из $x\succ0$ следует $Ax\succcurlyeq0$.
Пример:
$$
A=\left(\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 0 \\
-7 & 0 & 0 \\
5 & 3 & 0 \\
-2 & 6 & 0
\end{array}\right)
$$

4. Столбцово ступенчатые матрицы, у которых все столбцы ненулевые
и в каждом столбце первый ненулевой элемент положительный.
Это те матрицы $A$, для которых из $x\succ0$ следует $Ax\succ0$.
В квадратном случае это нижнетреугольные матрицы
с положительными элементами на главной диагонали.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group